4.4. Носитель обобщённой функции

Пусть — Два открытых подмножества в причём Тогда . Поэтому если то мы можем ограничить функционал на и получим обобщённую функцию на которая обозначается . Важное обстоятельство состоит в том, что эта операция ограничения обладает следующими свойствами:

а) Пусть дано покрытие открытого множества открытыми множествами . Тогда если в

б) Пусть опять и дан набор обобщённых функций причём для любых . Тогда существует такая обобщённая функция что для любого

Свойства а) и б) часто формулируют, говоря, что обобщённые функции образуют пучок.

Докажем важное для нас свойство а). Для этого воспользуемся «разбиением единицы» — таким семейством функций что

2) семейство локально конечно, т.е. у любой точки имеется окрестность, в которой отлично от нуля лишь некоторое конечное число функций из этого семейства;

Существование разбиения единицы доказывается в курсах геометрии.

Если то из 1) следует, что , а из 2) и 3) вытекает, что

причём сумма на самом деле содержит лишь конечное число слагаемых, отличных от тождественного нуля, поскольку компакт может пересекаться в силу свойства 2) лишь с конечным числом носителей . Если при любом j, то мы имеем

откуда ввиду произвольности Это доказывает свойство а).

Свойство б) можно доказать, строя по обобщённым функциям с помощью формулы

Если при этом где k — фиксированный индекс, то

поскольку . Мы проверили, тем самым, что , что доказывает свойство б).

Свойство а) позволяет корректно ввести для наибольшее открытое подмножество , для которого равно объединению всех таких открытых множеств , для которых . Тогда замкнутое подмножество называется носителем обобщённой функции и обозначается Таким образом, — это наименьшее из всех замкнутых подмножеств для которых .

Пример 4.7. . Вообще для обобщённой функции из примера 4.4 носитель лежит на Г. Если , то говорят, что сосредоточена на F. Таким образом, обобщённая функция вида (4.16) сосредоточена на Г.

Определим теперь носитель для обобщённых функций из Это легко сделать, если заметить, что имеются канонические вложения

Они строятся исходя из вложений

которые позволяют определить с помощью ограничения функционалов на меньшее пространство отображения

Непрерывность получающихся при этом функционалов на вытекает из непрерывности отображений вложения

Наконец, построенные отображения (4.37), (4.38) являются вложениями ввиду того, что плотно в плотно в так что любой линейный непрерывный функционал на (соотв. ) однозначно определяется своими значениями на плотном подмножестве (соотв. ).

В дальнейшем мы будем отождествлять обобщённые функции из с их образами в соответственно. Имеет место простое

Предложение 4.5. Пусть . Тогда условие равносильно тому, что является компактом в или, иными словами, сосредоточена на некотором компакте в .

Доказательство. Пусть Тогда функционал непрерывен по некоторой полунорме на т.е.

где компакт и числа не зависят от . Но отсюда следует, что зависит лишь от значений в сколь угодно малой окрестности К и, в частности, т.е. .

Обратно, пусть где — компакт в Ясно, что если компакт содержит окрестность компакта то определяется своим ограничением на причём оценка (4.39) верна при и, следовательно, вообще при (поскольку ) не зависит от Поэтому функционал непрерывно продолжается до функционала . Отметим, что по существу это продолжение сводится к тому, что функцию надо разложить в суму где в окрестности и затем положить Предложение 4.5 доказано.

Следующая важная теорема описывает обобщённые функции с носителем в точке.

Теорема 4.6. Пусть . Тогда f имеет вид

где число и постоянные не зависят от .

Доказательство. Поставим в соответствие каждой функции её -струю в точке , т.е. набор производных

Выберем l так, что верна оценка (4.39), в которой К — компакт, являющийся окрестностью нуля. Проверим, что зависит на самом деле лишь от . Тогда утверждение теоремы станет очевидным, поскольку дело сведётся к описанию линейных функционалов на конечномерном векторном пространстве l-струй в точке 0, а такие функционалы задаются так, как написано в правой части (4.40). Итак, остаётся проверить, что из условия вытекает, что

Пусть при при . Положим Ясно, что из условия вытекает, что при любом Мы выведем из условия тот факт, что при

Отсюда будет следовать, что

в силу оценки (4.39). Осталось доказать (4.41). По формуле Лейбница

Но из формулы Тейлора вытекает, что да при

Заметим, что на . Поэтому при

Отсюда и следует (4.41). Теорема доказана.