4.5. Дифференцирование обобщённых функции и их умножение на гладкую функцию

Дифференцирование обобщённых функций должно быть естественным продолжением дифференцирования гладких функций. Для того, чтобы его определить, заметим, что если и , то

или

Естественно поэтому определить для и по формуле (4.42) (которую мы будем записывать и в виде (4.42) в соответствии с соглашением, о котором говорилось выше). А именно, значение функционала на функции (т.е. левую часть ) определим с помощью правой части, имеющей смысл, поскольку Поскольку оператор — непрерывно отображает для любого компакта , то мы видим, что . Теперь можно определить операторы высоких производных

где — мультииндекс, как произведения операторов а именно (эквивалентный) способ: надо написать формулу

позволяющую сразу находить производные высокого порядка. Последовательное применение (4.42) показывает, что результат, получаемый из формулы (4.44), тот же, что и при применении да как выписанной выше композиции операторов .

Поскольку непрерывно отображает то ясно, что оператор отображает Наконец, из формулы (4.44) видно также, что да является непрерывным оператором в Поэтому можно сказать, что является продолжением по непрерывности обычного оператора дифференцирования на обобщённые функции. Такое продолжение единственно, поскольку, как мы увидим в дальнейшем, плотно в . Наконец, ясно, что

Пример 4.8. Рассмотрим функцию Хевисайда и найдём её производную в смысле обобщённых функций:

т.е.

Пример 4.9. Найдём производную от -функции . По определению имеем

Таким образом, функционал сопоставляет функции число Теорема 4.6 может быть теперь сформулирована следующим образом: всякая обобщённая функция, сосредоточенная в точке 0, является конечной линейной комбинацией производных -функции.

Пример 4.10. Рассмотрим оператор Лапласа и попробуем найти такую обобщённую функцию и , что

Такая обобщённая функция и называется фундаментальным решением для оператора и будет играть важную роль в дальнейшем. Ясно, что она определена неоднозначно (мы можем добавить к ней любое решение уравнения Лапласа . Чтобы по возможности уменьшить произвол в выборе u, воспользуемся соображениями симметрии.

Оператор перестановочен с поворотами (или, что то же самое, не меняет вида при ортогональном преобразовании координат). Поэтому повернув решение и (можно легко понять, что это значит, но мы всё равно пока рассуждаем эвристически), мы снова получим решение того же уравнения. Но тогда можно усреднить по всем поворотам и получится решение u, инвариантное относительно поворотов. Естественно также предположить, что и не имеет особенностей при . Поэтому будем искать обобщённую функцию имеющую при вид , где Вычислим . Имеем:

Отсюда

Суммируя по j от 1 до n, получаем:

Решим уравнение

Полагая , мы получаем для уравнение с разделяющимися переменными

из которого получается, что

где С — постоянная. Интегрируя, находим отсюда:

Поскольку постоянные являются решениями однородного уравнения , то можно считать, что

Будем рассматривать лишь случай (случай гораздо элементарнее и будет позже разобран в гораздо более общей форме). Положим

(4.51)

Тогда функция локально интегрируема в и потому может рассматриваться как обобщённая функция. Множитель введён для того, чтобы при всех было верно равенство .

В дальнейшем мы будем использовать следующую важную формулу Грина

где — ограниченная область в с -гладкой или кусочно-гладкой границей означает внешнюю нормаль к — элемент площади границы. Эта формула по существу означает переброску производных с u на v интегрированием по частям и может быть выведена таким интегрированием по частям по каждой переменной при фиксированных остальных. Она является также частным случаем формулы Стокса для общих дифференциальных форм:

где — -форма в , — её внешний дифференциал. В качестве нужно взять форму

где запись означает, что пропускается. Ясно, что

так что левая часть (4.53) совпадает с левой частью (4.52). Правая часть (4.53) в этом случае может быть легко преобразована к правой части (4.52) (соответствующие подробности мы предоставляем читателю в качестве упражнения).

Найдём теперь . Имеем:

Теперь применим формулу Грина (4.52) с , где R столь велико, что при . Получим, пользуясь тем, что при :

Ясно, что

Отсюда получаем

где при при . Поскольку площадь сферы радиуса в равна (где — площадь сферы радиуса 1), первое слагаемое в правой части (4.54) стремится к 0 при , а второе слагаемое стремится к . Окончательно получаем

или

Полагая теперь

мы получим, очевидно, что

т.е. — фундаментальное решение оператора Лапласа в .

Замечание 4.7. О площади единичной сферы в .

Вычислим . Для этого рассмотрим гауссовские интегралы

Записывая в полярных координатах, получим

Полагая получаем:

где Г — Г-функция Эйлера. Отсюда . В то же время при имеем

откуда . Итак,

Заметим, что эту формулу можно записать и без использования Г-функции, поскольку значения Г легко вычисляются. В самом деле, функциональное уравнение позволяет выразить через при чётном и через при нечётном .

Но из (4.56) получается при что (ясно, что впрочем, можно было бы использовать для зтой же цели взяв и использовав соотношение При мы получаем из (4.56), что что, конечно, легко проверить и без зтой формулы. Поэтому при мы получаем:

а при имеем

где .

Замечание 4.8. Физический смысл фундаментального решения оператора Лапласа.

При надлежащем выборе единиц измерения потенциал электростатического поля системы зарядов, распределённых с плотностью удовлетворяет уравнению Пуассона

В частности, для точечного заряда в точке 0 имеем и, значит, — фундаментальное решение оператора . Физический смысл имеют лишь убывающие на бесконечности потенциалы. Ниже будет доказана теорема Лиувилля, из которой, в частности, вытекает, что решение уравнения Лапласа стремящееся к 0 при тождественно равно нулю. Поэтому имеется единственное фундаментальное решение, стремящееся к 0 при , а именно . Оно и задаёт потенциал точечного единичного заряда, расположенного в точке 0. Кстати, потенциал произвольного распределения зарядов должен, очевидно, по принципу суперпозиции задаваться формулой

Формально применяя оператор Лапласа, получим

т.е. выполнено уравнение Пуассона (4.57). Эта выкладка может служить для вывода уравнения Пуассона, если определять потенциал сразу по формуле (4.58). Обоснование её можно получить с помощью вводимой ниже операции свёртки обобщённых функций.

Укажем ещё смысл фундаментального решения Рассмотрим в бесконечную равномерно заряженную нить (с линейной плотностью заряда, равной 1), расположенную вдоль оси . Из соображений симметрии ясно, что её потенциал не зависит от и зависит лишь от . Пусть . Уравнение Пуассона для и приобретает вид откуда . Таким образом, в этом случае потенциал имеет вид

Заметим, однако, что потенциал нити нельзя считать с помощью интеграла (4.58), который в этом случае тожественно равен . Каков же смысл этого потенциала? Это легко понять, если вспомнить, что измеримой физической величиной является не потенциал, а электростатическое поле, равное с обратным знаком градиенту потенциала:

Это поле можно считать по закону Кулона и задающий его интеграл уже сходится (в точках, лежащих вне нити). Потенциал и, восстанавливаемый по Е с точностью до аддитивной постоянной, как раз и будет равен . Другим способом можно определить этот потенциал, считая вначале нить имеющей конечную длину и вычитая из потенциала конечной нити постоянную, зависящую от I (это не влияет на напряжённость ), а затем переходя к пределу при Легко видеть, что возможен такой подбор постоянных, описанных выше, что предел при существует. Тогда этот предел будет равен по описанным выше причинам. Фактически мы вычли из потенциала нити вида (4.58) бесконечную постоянную, не влияющую на Е. Такая процедура называется в физике «перенормировкой заряда» и имеет аналоги в квантовой электродинамике.

Докажем возможность перенормировки заряда. Напишем потенциал участка нити :

Поскольку при естественно вместо рассмотреть функцию

отличающуюся от на постоянную, зависящую от т. е.

Но теперь в формуле для под знаком интеграла стоит функция

которая ведет себя при как так что интеграл имеет предел при . Конечно, и сам интеграл, и его предел можно явно вычислить, но для нас это не важно, поскольку предел мы уже умеем с точностью до постоянной вычислять другим способом.

Умножение на гладкую функцию вводится аналогично дифференцированию. А именно, если , а , то ясно, что

Эта же формула может служить для определения в случае, когда . Легко видеть, что при этом мы снова получим обобщённую функцию . Если , то причём .

Пусть теперь Тогда воспользоваться формулой (4.59) при можно в том случае, если Более того, если мы хотим, чтобы умножение давало обобщённую функцию то надо, чтобы оператор, переводящий в , был непрерывным оператором из в . Для этого достаточно, например, чтобы для функции были выполнены оценки

где — некоторые постоянные. В частности, умножение на многочлен переводит .

Функцию можно умножить на любую непрерывную функцию . Для обобщённой функции также можно ослабить условия на при которых определено произведение . А именно, пусть, например, обобщённая функция такова, что при некотором целом для каждого компакта выполнена оценка

В этом случае говорят, что — обобщённая функция конечного порядка (не превосходящего ). Обозначим через множество таких обобщенных функций. В общем случае оценка (4.61) верна лишь с постоянной , зависящей от К, а мы требуем здесь, чтобы m не зависело от К. Ясно, что если , то имеет конечный порядок. Если то .

Если то мы можем по непрерывности продолжить до линейного функционала на пространстве состоящем из функций класса с компактным носителем, лежащим в П. А именно, ясно, что где К — компакт в — подмножество в состоящее из функций с носителем, лежащим в К. Вводя в норму, равную правой части (4.61), мы видим, что обобщённая функция продолжается до линейного непрерывного функционала на . Поэтому она определяет линейный функционал на . Например, ясно, что при , так что функция задает линейный функционал на . На самом деле она, конечно, задаёт линейный непрерывный функционал и просто на . Вообще, если , то продолжается до линейного непрерывного функционала на если в ввести топологию, определяемую полунормами, имеющими вид правой части (4.61) с любым компактом .

Пусть теперь . Тогда формула (4.59) имеет смысл при поскольку тогда . Таким образом, произведение определено при .

Пример при .

Пример 4.12. Пусть Вычислим , где . Имеем:

Отсюда

Заметим, в частности, что из условия не следует ещё, что

Пример 4.13. Формула Лейбница. Пусть . Докажем, что

В самом деле, если , то

что и требовалось.

Благодаря формуле (4.62) можно дифференцировать произведение обобщённой функции на гладкую как обычное произведение. В частности, верна формула Лейбница для производных более высокого порядка.

Пример 4.14. Фундаментальное решение обыкновенного дифференциального оператора.

Рассмотрим на дифференциальный оператор

где — постоянные, и найдём его фундаментальное решение , т. е. решение уравнения . Ясно, что определено с точностью до решения однородного уравнения . Кроме того, при должно быть выполнено уравнение . Поэтому естественно искать в виде

где — решения уравнения . Кроме того, вычитая можно считать, что

где — решение уравнения . Теперь необходимо вычислить . Ясно, что

а при дальнейшем дифференцировании возникнут производные от . Если мы хотим, чтобы эти производные не возникли, а -функция появилась лишь на самом последнем шаге, то нужно считать, что

Такое решение существует и единственно. При таком выборе мы получаем

Поэтому

что и требовалось.

Почему при фундаментальное решение должно быть обычным гладким решением? Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема 4.9. Пусть обобщённая функция и является решением дифференциального уравнения

где бесконечно дифференцируемы на Тогда .

Доказательство. Вычитая гладкое частное решение (4.66), которое, как известно, существует, мы видим, что дело сводится к случаю, когда . Далее, при уравнение (4.66) известным приёмом сводится к системе вида

где v — вектор обобщённых функций, — матрица, элементы которой принадлежат . Пусть — невырожденная матрица класса удовлетворяющая уравнению

т. е. — матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений для (4.67). Положим т. е. введём обозначение . Тогда w — снова вектор обобщённых функций на (а, b), причём подставляя в уравнение (4.67), мы получим для w уравнение . Мы видим теперь, что остаётся доказать следующую лемму.

Лемма 4.10. Пусть и Тогда .

Доказательство. Условие означает, что для любой функции . Но ясно, что функция может быть представлена в виде , где , тогда и только тогда, когда

В самом деле, если то (4.69) верно по формуле Ньютона-Лейбница. Обратно, если выполнено (4.69), то мы можем положить

Рассмотрим отображение , переводящее Поскольку при , то ясно, что зависит лишь от но поскольку эта зависимость линейная, то ясно, что где С — постоянная. Но это и означает, что