5.5. Связь между свойствами гладкости фундаментального решения и решений однородного уравнения

Сначала докажем простую, но важную лемму.

Левша 5.7. Пусть — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, — его фундаментальное решение, . Тогда .

Доказательство. Имеем:

что и требовалось.

Теорема 5.8. Пусть фундаментальное решение оператора бесконечно дифференцируемо вне точки 0. Тогда, если обобщённая функция и является решением уравнения где

Доказательство. Отметим, что утверждение теоремы является локальным, т. е. его достаточно доказывать в окрестности произвольной точки . Пусть в окрестности точки Рассмотрим обобщённую функцию и применим к ней оператор Обозначая мы видим, что в окрестности точки и, в частности, . По лемме 5.7 имеем:

Теперь воспользуемся предложением 5.6. Поскольку , то мы получаем

Поэтому значит, и, т.е. и бесконечно дифференцируема в окрестности что и требовалось.

Аналогичный факт можно доказать и об аналитичности решений. Рассмотрим вначале случай однородного уравнения .

Теорема 5.9. Пусть фундаментальное решение оператора вещественно-аполитично вне точки 0. Тогда если и то и является вещественно-аналитической функцией в .

Доказательство. Мы уже знаем, что . Снова воспользуемся тем же рассуждением, что и в доказательстве теоремы 5.8 и рассмотрим формулу (5.35), в которой теперь в окрестности точки . Тогда при близких к имеем

Отметим теперь, что аналитичность при равносильна возможности продолжить до голоморфной функции в некоторой комплексной окрестности множества (т. е. в такой области что ). Голоморфность функции , где G — область в означает выполнение одного из двух равносильных условий:

а) в окрестности каждой точки разлагается в сумму степенного ряда по , т. е.

где z близко к и — мультииндекс;

б) непрерывна в G и дифференцируема по каждой переменной (т.е. голоморфна по каждому ).

Доказательство можно найти на первых страницах любого курса по функциям нескольких комплексных переменных (см., например, [12, гл. 1, теор. А2]).

Заметим, что в интеграле (5.36) переменная у меняется на компакте . Если фиксировать то при где достаточно мало, можно определить причём это будет голоморфная функция по z и по w. Ясно, что тогда интеграл

определён при и голоморфен по z, поскольку мы можем дифференцировать по z под знаком интеграла. Но интеграл в (5.36) можно представить в виде суммы интегралов описанной структуры. Поэтому можно определить при z близком к будет голоморфна по z. В частности, разлагается в ряд Тейлора в окрестности точки т.е. вещественно-аналитична.

Случай неоднородного уравнения сводится к предыдущему применением теоремы Коши-Ковалевской, которую мы сейчас сформулируем в удобной для нас форме.

Теорема 5.10 (теорема Коши-Ковалевской). Рассмотрим уравнение

где вещественно-аналитические функции в окрестности точки . Рассмотрим для этого уравнения задачу Коши, т. е. задачу с начальными условиями

где — вещественно-аналитические функции в окрестности точки . Задача (5.37)-(5.38) имеет единственное решение, вещественно-аналитическое в достаточно малом шаре пространства .

Мы не будем доказывать эту теорему. Укажем лишь, что один из способов её доказательства состоит в том, что решение ищется в виде степенного ряда, коэффициенты которого однозначно определяются условиями (5.37), (5.38), а затем проводится оценка коэффициентов, доказывающая сходимость этого ряда.

Отметим, что если — линейный дифференциальный оператор порядка то с аналитическими коэффициентами в окрестности точки 0, причём главный символ таков, что (т.е. один из старших коэффициентов отличен от 0 в точке 0), то поворотом координатных осей уравнение можно свести к виду (5.37). А именно, оси координат надо выбрать так, чтобы плоскость была нехарактеристической в точке 0. Поэтому уравнение для аналитической в окрестности 0 функции всегда имеет решение аналитическое в окрестности точки 0. В частности, это всегда верно для операторов с постоянными коэффициентами. Теперь ясно, что из теоремы 5.9 вытекает

Теорема 5.11. Пусть фундаментальное решение оператора вещественно-аполитично при . Тогда если и и f вещественно-аполитична в , то функция и вещественно-аналитична в .

Следствие 5.12. Если и , где вещественно-аполитична в , то и вещественно-аполитична в .

Замечание 5.13. Можно доказать, что всякий оператор имеет фундаментальное решение. Из теоремы 5.8 ясно, что следующие условия на оператор эквивалентны:

а) оператор имеет такое фундаментальное решение что

б) если .

Операторы обладающие таким свойством, называются гипоэллиптпическими. Можно доказать, что необходимое и достаточное условие гипоэллиптичности имеет вид

Далее, в силу теоремы 5.9 равносильны также условия:

в) оператор имеет такое фундаментальное решение что вещественно-аналитична при

г) если и то и вещественно-аналитична в .

Можно доказать, что выполнение условий в) и г) равносильно эллиптичности оператора (в смысле § 1.).

Доказательства сформулированных в этом замечании утверждений можно найти у Шилова [57] или Хёрмандера [55-2].