Доказательство. Имеем:
что и требовалось.
Теорема 5.8. Пусть фундаментальное решение
оператора
бесконечно дифференцируемо вне точки 0. Тогда, если обобщённая функция и
является решением уравнения
где
Доказательство. Отметим, что утверждение теоремы является локальным, т. е. его достаточно доказывать в окрестности произвольной точки
. Пусть
в окрестности точки
Рассмотрим обобщённую функцию
и применим к ней оператор
Обозначая
мы видим, что
в окрестности точки
и, в частности,
. По лемме 5.7 имеем:
Теперь воспользуемся предложением 5.6. Поскольку
, то мы получаем
Поэтому
значит,
и, т.е. и бесконечно дифференцируема в окрестности
что и требовалось.
Аналогичный факт можно доказать и об аналитичности решений. Рассмотрим вначале случай однородного уравнения
.
Теорема 5.9. Пусть фундаментальное решение
оператора
вещественно-аполитично вне точки 0. Тогда если и
то и является вещественно-аналитической функцией в
.
Доказательство. Мы уже знаем, что
. Снова воспользуемся тем же рассуждением, что и в доказательстве теоремы 5.8 и рассмотрим формулу (5.35), в которой теперь
в окрестности точки
. Тогда при
близких к
имеем
Отметим теперь, что аналитичность
при
равносильна возможности продолжить
до голоморфной функции в некоторой комплексной окрестности множества
(т. е. в такой области
что
). Голоморфность функции
, где G — область в
означает выполнение одного из двух равносильных условий:
а)
в окрестности каждой точки
разлагается в сумму степенного ряда по
, т. е.
где z близко к
и
— мультииндекс;
б)
непрерывна в G и дифференцируема по каждой переменной
(т.е. голоморфна по каждому
).
Доказательство можно найти на первых страницах любого курса по функциям нескольких комплексных переменных (см., например, [12, гл. 1, теор. А2]).
Заметим, что в интеграле (5.36) переменная у меняется на компакте
. Если фиксировать
то при
где
достаточно мало, можно определить
причём это будет голоморфная функция по z и по w. Ясно, что тогда интеграл
определён при
и голоморфен по z, поскольку мы можем дифференцировать по z под знаком интеграла. Но интеграл в (5.36) можно представить в виде суммы интегралов описанной структуры. Поэтому можно определить
при z близком к
будет голоморфна по z. В частности,
разлагается в ряд Тейлора в окрестности точки
т.е.
вещественно-аналитична.
Случай неоднородного уравнения сводится к предыдущему применением теоремы Коши-Ковалевской, которую мы сейчас сформулируем в удобной для нас форме.
Теорема 5.10 (теорема Коши-Ковалевской). Рассмотрим уравнение
где
вещественно-аналитические функции в окрестности точки
. Рассмотрим для этого уравнения задачу Коши, т. е. задачу с начальными условиями
где
— вещественно-аналитические функции в окрестности точки
. Задача (5.37)-(5.38) имеет единственное решение, вещественно-аналитическое в достаточно малом шаре
пространства
.
Мы не будем доказывать эту теорему. Укажем лишь, что один из способов её доказательства состоит в том, что решение
ищется в виде степенного ряда, коэффициенты которого однозначно определяются условиями (5.37), (5.38), а затем проводится оценка коэффициентов, доказывающая сходимость этого ряда.
Отметим, что если
— линейный дифференциальный оператор порядка то с аналитическими коэффициентами в окрестности точки 0, причём главный символ
таков, что
(т.е. один из старших коэффициентов отличен от 0 в точке 0), то поворотом координатных осей уравнение
можно свести к виду (5.37). А именно, оси координат надо выбрать так, чтобы плоскость
была нехарактеристической в точке 0. Поэтому уравнение
для аналитической в окрестности 0 функции
всегда имеет решение
аналитическое в окрестности точки 0. В частности, это всегда верно для операторов с постоянными коэффициентами. Теперь ясно, что из теоремы 5.9 вытекает
Теорема 5.11. Пусть фундаментальное решение
оператора
вещественно-аполитично при
. Тогда если и
и f вещественно-аполитична в
, то функция и вещественно-аналитична в
.
Следствие 5.12. Если и
, где
вещественно-аполитична в
, то и вещественно-аполитична в
.
Замечание 5.13. Можно доказать, что всякий оператор
имеет фундаментальное решение. Из теоремы 5.8 ясно, что следующие условия на оператор
эквивалентны:
а) оператор
имеет такое фундаментальное решение
что
б) если
.
Операторы
обладающие таким свойством, называются гипоэллиптпическими. Можно доказать, что необходимое и достаточное условие гипоэллиптичности имеет вид
Далее, в силу теоремы 5.9 равносильны также условия:
в) оператор
имеет такое фундаментальное решение
что
вещественно-аналитична при
г) если и
то и вещественно-аналитична в
.
Можно доказать, что выполнение условий в) и г) равносильно эллиптичности оператора
(в смысле § 1.).
Доказательства сформулированных в этом замечании утверждений можно найти у Шилова [57] или Хёрмандера [55-2].