10.3. Скачки потенциалов
Теперь мы можем доказать основную теорему о скачках потенциалов.
Теорема 10.5. 1) Пусть u — один из потенциалов 
Тогда и является функцией, гладкой вплоть до Г с каждой стороны.
2) Если u — объёмный потенциал, то и 
3) Если u — потенциал простого слоя, то 
, а скачок производной 
на Г равен -а, где а — плотность заряда на Г, определяющая u.
4) Если u — потенциал двойного слоя, то скачоки на Г равен 
, где а — плотность (диполей) на Г, определяющая u.
Доказательство. По лемме 10.4 мы можем для каждого из потенциалов найти такую функцию 
гладкую вплоть до Г с каждой стороны, что 
(здесь 
— такая же обобщенная функция, как в формуле 
). Следовательно, 
.
Выведем отсюда, что 
. Без ущерба для общности мы можем предположить, что 
имеют компактный носитель. Но тогда 
, откуда 
. В то же время легко видеть, что 
, поскольку представляя эту свёртку в виде интеграла
мы можем N раз дифференцировать по 
под знаком интеграла.
Итак, 
. Отсюда производные 
непрерывны вплоть до Г с каждой стороны. Поскольку N произвольно, мы получаем первое утверждение теоремы.
2) Пусть и — объёмный потенциал. Ясно, что 
. В окрестности каждой точки гиперповерхности Г мы можем выпрямить Г и использовать уравнение 
получаемое заменой переменных из уравнения 
Поскольку оператор Д эллиптичен, оператор А тоже эллиптичен, так что Г нехарактеристична. Но тогда из включения 
и лемм 10.1, 10.2 вытекает, что им 
(если бы это было не так, то применение формул 
и (10.11) привело бы к появлению сингулярной обобщённой функции типа 
или 
в правой части уравнения 
3) В окрестности точки 
можно так ввести новые координаты 
, что 
— расстояние от точки 
до Г по нормали к Г.
и 
превращаются в 
и 
и утверждения 3) и 4) вытекают из лемм 10.1, 10.2 и уравнения 
которое превращается в 
, где А имеет вид 10.14.