6.3. Пример обоснования гармоничности предельной функции
Возможно много вариантов такого обоснования. Мы приведём один из них.
Предложение 6.1. Пусть решение
уравнения теплопроводности определено и ограничено при
— область в
. Предположим, что при почти всех
существует предел
Тогда
— гармоническая функция в
.
Замечание 6.2. Решение
здесь можно a priori считать ограниченной измеримой функцией, понимая уравнение (6.1) в смысле обобщенных функций, однако мы увидим ниже, что оператор теплопроводности имеет фундаментальное решение, бесконечно дифференцируемое при
и, следовательно, на самом деле
, где
Более того, в предположениях предложения 6.1 предел в (6.8) на самом деле равномерен вместе со всеми производными на любом компакте
, т.е. является пределом в топологии
.