6.3. Пример обоснования гармоничности предельной функции

Возможно много вариантов такого обоснования. Мы приведём один из них.

Предложение 6.1. Пусть решение уравнения теплопроводности определено и ограничено при — область в . Предположим, что при почти всех существует предел

Тогда — гармоническая функция в .

Замечание 6.2. Решение здесь можно a priori считать ограниченной измеримой функцией, понимая уравнение (6.1) в смысле обобщенных функций, однако мы увидим ниже, что оператор теплопроводности имеет фундаментальное решение, бесконечно дифференцируемое при и, следовательно, на самом деле , где

Более того, в предположениях предложения 6.1 предел в (6.8) на самом деле равномерен вместе со всеми производными на любом компакте , т.е. является пределом в топологии .

Доказательство предложения 6.1. Ясно, что

при всех и почти всех . Если то из теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла вытекает, что

или, иными словами,

(здесь ) надо понимать как т. е. в смысле правой части предыдущей формулы). Применим к обеим частям оператор теплопроводности — и поменяем местами этот оператор и предельный переход можно делать в обобщённых функциях — например, в данном случае дело просто сводится к замене функции в (6.9) на другую функцию — . Тогда мы получим, что является решением (в обобщённом смысле) уравнения Но, как мы знаем, тогда — настоящая гармоническая функция, что и требовалось.