Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 9. Волновое уравнение9.1. Физические задачи, приводящие к волновому уравнениюСуществует много физических задач, приводящих к волновому уравнению
где
Мы уже видели, что малые колебания струны подчиняются уравнению (9.1) (при Важнейшим примером, в котором уравнения вида (9.1) и (9.2) играют важную роль, является электродинамика. Остановимся на этом несколько подробнее. Уравнения электродинамики (уравнения Максвелла) имеют вид
Здесь Е, В — векторы напряжённости электрического и магнитного полей (это трёхмерные векторы, зависящие от t и от Уравнения Максвелла следует для их приложений дополнить формулой для силы Лоренца — силы, действующей на движущийся заряд. Эта сила имеет вид
где q — величина заряда, v — его скорость, а косой крест означает векторное произведение. Формула Обсуждение экспериментальных фактов, лежащих в основе уравнений Преобразуем уравнения Максвелла, введя скалярный и векторный потенциалы
Вектор-функция А называется векторным потенциалом, а скалярная функция
(это преобразование потенциалов называется калибровочным преобразованием). Можно использовать преобразование Получим уравнения на А и
Подставляя Е и В в уравнение
Используя легко проверяемое тождество
(лапласиан справа применяется покомпонентно), мы получаем из последнего уравнения
А теперь выберем
Точнее, пусть вначале даны какие-то потенциалы
где Предположим, что мы решили это уравнение и, найдя функцию
а уравнение
Таким образом, мы можем считать, что потенциалы
и пусть
Но это условие означает сохранение заряда. Таким образом, если имеет место сохранение заряда, то решение уравнений Максвелла можно найти, если уметь решать неоднородное волновое уравнение. Преобразование уравнений Максвелла к виду
В пустом пространстве (при отсутствии токов и зарядов) потенциалы
|
1 |
Оглавление
|