§ 9. Волновое уравнение

9.1. Физические задачи, приводящие к волновому уравнению

Существует много физических задач, приводящих к волновому уравнению

где лапласиан по переменным . Часто встречается также более общее неоднородное уравнение

Мы уже видели, что малые колебания струны подчиняются уравнению (9.1) (при ), а при наличии внешней силы — уравнению (9.2). Можно показать, что малые колебания мембраны удовлетворяют аналогичным уравнениям, если под понимать вертикальное смещение мембраны от положения равновесия. Аналогично, при малых колебаниях газа (звуковых колебаниях) его параметры (например, давление, плотность, смещение частиц газа) подчиняются уравнению (9.1) ().

Важнейшим примером, в котором уравнения вида (9.1) и (9.2) играют важную роль, является электродинамика. Остановимся на этом несколько подробнее.

Уравнения электродинамики (уравнения Максвелла) имеют вид

Здесь Е, В — векторы напряжённости электрического и магнитного полей (это трёхмерные векторы, зависящие от t и от , р — скалярная функция от t и (плотность электрических зарядов), j — трёхмерный вектор плотности электрического тока, также зависящий от t и от (если заряды, имеющие в данной точке и в данный момент времени плотность р, движутся со скоростью то . Числа — универсальные постоянные, зависящие от выбора системы единиц — скорость света и «диэлектрическая проницаемость вакуума».

Уравнения Максвелла следует для их приложений дополнить формулой для силы Лоренца — силы, действующей на движущийся заряд. Эта сила имеет вид

где q — величина заряда, v — его скорость, а косой крест означает векторное произведение. Формула может служить для экспериментального измерения полей Е и В (или, если угодно, для определения их как физических величин).

Обсуждение экспериментальных фактов, лежащих в основе уравнений можно найти в учебниках физики (см., например, [52, книги 5 и 6]).

Преобразуем уравнения Максвелла, введя скалярный и векторный потенциалы . А именно, из уравнения следует, что , где А — векторная функция от t и от определённая с точностью до такого поля что т.е. поля где — скалярная функция. Подставляя выражение в уравнение откуда , где — скалярная функция. Итак, вместо уравнений и можно написать:

Вектор-функция А называется векторным потенциалом, а скалярная функция — скалярным потенциалом. Заметим, что уравнения не определяют потенциалов А и однозначно. Мы можем, например, не меняя полей Е и В, заменить А на А' и на , где

(это преобразование потенциалов называется калибровочным преобразованием). Можно использовать преобразование для получения более простых уравнений на потенциалы. Например, используя свободу, даваемую преобразованием мы можем получить любое значение поскольку с помощью решения уравнения Пуассона можно добиться любого значения и, следовательно, .

Получим уравнения на А и используя два оставшихся уравнения Максвелла. Подставляя выражение Е через потенциалы в , получим

Подставляя Е и В в уравнение мы получаем

Используя легко проверяемое тождество

(лапласиан справа применяется покомпонентно), мы получаем из последнего уравнения

А теперь выберем , пользуясь калибровочным преобразованием, так что

Точнее, пусть вначале даны какие-то потенциалы , мы хотим так подобрать функцию в калибровочном преобразовании чтобы и А удовлетворяли условию калибровки (МП). Но даёт для функции уравнение вида

где — известная функция. Мы получили неоднородное волновое уравнение.

Предположим, что мы решили это уравнение и, найдя функцию получили потенциалы и А, удовлетворяющие условию . Тогда второй и третий члены в исчезнут и мы получим

а уравнение приобретает вид

Таким образом, мы можем считать, что потенциалы и А удовлетворяют неоднородным волновым уравнениям , которые вместе с условием калибровки равносильны системе уравнений Максвелла. Калибровка называется калибровкой Лоренца. Обозначим через волновой оператор (или даламбертиан)

и пусть означает оператор свёртки с каким-нибудь фундаментальным решением этого оператора. Тогда перестановочен с дифференцированиями. Предположим, что имеют смысл. Тогда потенциалы — удовлетворяют уравнениям . Но будет ли выполнено условие калибровки Лоренца? Подставляя найденные А и мы видим, что это условие выполняется тогда и только тогда, когда

Но это условие означает сохранение заряда. Таким образом, если имеет место сохранение заряда, то решение уравнений Максвелла можно найти, если уметь решать неоднородное волновое уравнение.

Преобразование уравнений Максвелла к виду позволяет легко увидеть инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца, т. е. линейных преобразований пространства-времени х, сохраняющих метрику Минковского

В пустом пространстве (при отсутствии токов и зарядов) потенциалы и А подчиняются волновому уравнению вида (9.1) при . Отсюда следует, что компоненты векторов Б и В удовлетворяют тому же уравнению.