Задачи

5-1. Найти преобразования Фурье следующих обобщённых функций:

5-2. Найти обратные преобразования Фурье следующих обобщённых функций:

5-3. Пользуясь результатом задачи 5-26) найти фундаментальное решение для оператора

5-4. Будем говорить, что свёртка двух обобщённых функций определена, если для любой последовательности при предел существует в и не зависит от выбора последовательности . Доказать, что если и носители лежат на полуоси то свертка определена, причём операции сложения и свёртки превращают множество обобщённых функций с носителем на в ассоциативное коммутативное кольцо с единицей.

5-5. Доказать, что при .

5-6. Определим для операцию интегрирования формулой что и операция I по непрерывности продолжается на .

5-7. Пользуясь ассоциативностью свёртки, доказать, что

5-8. Положим , так что и, в частности, .

Определим дробный интеграл формулой

Доказать, что .

5-9. Определим при всех дробный интеграл формулой

где таково, что Доказать, что это определение корректно (т.е. результат не зависит от выбора ). Доказать, что при любых . Доказать, что при для любой обобщённой функции .