9.2. Плоские, сферические и цилиндрические волны
Плоской волной называется решение уравнения (9.1), которое при фиксированном t постоянно на каждой из плоскостей, параллельных некоторой заданной плоскости. Поворотом в
-пространстве легко добиться того, чтобы рассматриваемое семейство плоскостей имело вид
.
Тогда плоская волна — это решение уравнения (9.1), зависящее лишь от t и от
. Но тогда оно является решением одномерного волнового уравнения
т. е. имеет вид
где
— произвольные функции. До поворота каждое из слагаемых имело, очевидно, вид
, где
. Другой способ записи:
, где k — уже не единичный вектор. Такой способ применяется, чтобы сделать аргумент функции
безразмерной величиной, и чаще всего используется в физике и механике. Если t измеряется в секундах,
метрах, то
имеет размерность 1/сек, а k — размерность
. Подставляя
в (9.1), мы видим, что
или
. Ясно, что скорость движения фронта плоской волны
(плоскости, где
имеет данное значение) равна а — уравнение такого фронта
, где k и
таковы, что
. Важный пример плоской волны — волна
(обычно так пишут, подразумевая, что берётся действительная или мнимая часть). В этом случае каждая фиксированная точка
совершает синусоидальные колебания с частотой и, а при фиксированном t волна синусоидально зависит от к
так что происходит синусоидальное изменение по направлению вектора к со скоростью
. Вектор к часто называют волновым вектором. Соотношение
называется законом дисперсии для рассматриваемых волн (в физике встречаются и более общие законы дисперсии вида
). На самом деле много решений волнового уравнения можно получить суперпозицией плоских волн с различными значениями к. Однако мы непосредственно получим важнейшие типы таких волн.
В дальнейшем будем считать, что
и изучим сферические волны — решения уравнения (9.1), зависящие лишь от t и от
, где
. Итак, пусть
, где
. Тогда уравнение (9.1) запишется в виде
Умножим обе части на
и воспользуемся тем, что
Тогда получим, очевидно,
откуда
и
Это общий вид сферических волн. Волна
расходится от точки
волна же
наоборот, сходится к ней. В электродинамике обычно рассматривают лишь волну, расходящуюся от «источника», отбрасывая второе слагаемое в (9.5) из физических соображений. Функция
в этом случае характеризует свойства источника. Фронтом расходящейся сферической волны естественно считать сферу
. Видно, что скорость движения фронта по-прежнему равна а.
Перейдём к рассмотрению цилиндрических волн — решений уравнения (9.1), зависящих лишь от t и от расстояния до оси
На самом деле цилиндрическая волна зависит лишь от
(и даже только от f и
), так что она является решением волнового уравнения
Однако удобно считать её решением волнового уравнения с
но решением не зависящим от
.
Один из способов сконструировать цилиндрические волны таков: нужно взять суперпозицию одинаковых сферических волн, расходящихся из всех точек оси
(или сходящихся ко всем точкам оси
). Пусть
— единичный вектор, направленный по оси
. Тогда мы получим цилиндрическую волну, написав
Положим
Ясно, что
не зависит от
и зависит лишь от t и р. Мы можем считать в (9.6), что
Тогда под знаками интегралов стоят чётные функции от z и интеграл достаточно сосчитать от 0 до
Введём ещё
в качестве переменной интегрирования вместо z, так что
Учитывая, что
меняется от р до
(при
) мы получаем
или
Все эти выкладки имеют смысл, когда написанные интегралы сходятся. Например, если
— непрерывные функции от то достаточно, чтобы они при
вели себя так, что
где
. Можно показать, что формула (9.7) даёт общий вид цилиндрических волн.
Опишем кратко другой способ получения цилиндрических волн. Если искать цилиндрическую волну вида
, то для
получается уравнение Бесселя порядка 0:
Теперь можно взять суперпозицию таких волн (они называются «монохроматическими»), интегрируя по
.