9.2. Плоские, сферические и цилиндрические волны

Плоской волной называется решение уравнения (9.1), которое при фиксированном t постоянно на каждой из плоскостей, параллельных некоторой заданной плоскости. Поворотом в -пространстве легко добиться того, чтобы рассматриваемое семейство плоскостей имело вид .

Тогда плоская волна — это решение уравнения (9.1), зависящее лишь от t и от . Но тогда оно является решением одномерного волнового уравнения

т. е. имеет вид

где — произвольные функции. До поворота каждое из слагаемых имело, очевидно, вид , где . Другой способ записи: , где k — уже не единичный вектор. Такой способ применяется, чтобы сделать аргумент функции безразмерной величиной, и чаще всего используется в физике и механике. Если t измеряется в секундах, метрах, то имеет размерность 1/сек, а k — размерность . Подставляя в (9.1), мы видим, что или . Ясно, что скорость движения фронта плоской волны (плоскости, где имеет данное значение) равна а — уравнение такого фронта , где k и таковы, что . Важный пример плоской волны — волна (обычно так пишут, подразумевая, что берётся действительная или мнимая часть). В этом случае каждая фиксированная точка совершает синусоидальные колебания с частотой и, а при фиксированном t волна синусоидально зависит от к так что происходит синусоидальное изменение по направлению вектора к со скоростью . Вектор к часто называют волновым вектором. Соотношение называется законом дисперсии для рассматриваемых волн (в физике встречаются и более общие законы дисперсии вида ). На самом деле много решений волнового уравнения можно получить суперпозицией плоских волн с различными значениями к. Однако мы непосредственно получим важнейшие типы таких волн.

В дальнейшем будем считать, что и изучим сферические волны — решения уравнения (9.1), зависящие лишь от t и от , где . Итак, пусть , где . Тогда уравнение (9.1) запишется в виде

Умножим обе части на и воспользуемся тем, что

Тогда получим, очевидно,

откуда и

Это общий вид сферических волн. Волна расходится от точки волна же наоборот, сходится к ней. В электродинамике обычно рассматривают лишь волну, расходящуюся от «источника», отбрасывая второе слагаемое в (9.5) из физических соображений. Функция в этом случае характеризует свойства источника. Фронтом расходящейся сферической волны естественно считать сферу . Видно, что скорость движения фронта по-прежнему равна а.

Перейдём к рассмотрению цилиндрических волн — решений уравнения (9.1), зависящих лишь от t и от расстояния до оси На самом деле цилиндрическая волна зависит лишь от (и даже только от f и ), так что она является решением волнового уравнения Однако удобно считать её решением волнового уравнения с но решением не зависящим от .

Один из способов сконструировать цилиндрические волны таков: нужно взять суперпозицию одинаковых сферических волн, расходящихся из всех точек оси (или сходящихся ко всем точкам оси ). Пусть — единичный вектор, направленный по оси . Тогда мы получим цилиндрическую волну, написав

Положим

Ясно, что не зависит от и зависит лишь от t и р. Мы можем считать в (9.6), что Тогда под знаками интегралов стоят чётные функции от z и интеграл достаточно сосчитать от 0 до Введём ещё в качестве переменной интегрирования вместо z, так что

Учитывая, что меняется от р до (при ) мы получаем

или

Все эти выкладки имеют смысл, когда написанные интегралы сходятся. Например, если — непрерывные функции от то достаточно, чтобы они при вели себя так, что

где . Можно показать, что формула (9.7) даёт общий вид цилиндрических волн.

Опишем кратко другой способ получения цилиндрических волн. Если искать цилиндрическую волну вида , то для получается уравнение Бесселя порядка 0:

Теперь можно взять суперпозицию таких волн (они называются «монохроматическими»), интегрируя по .