Задачи
2-1. а) Написать граничное условие на левом конце струны, если к этому концу прикреплено колечко, которое может свободно скользить по вертикальному стержню. Массой колечка пренебречь (см. рис. 8).
б) то же, что и в 2-1 а), но колечко имеет массу 
;
в) то же, что и в 2-1 б), но колечко скользит с трением.
2-2. а) Получить закон сохранения энергии струны, если на одном или на обоих концах выполнено граничное условие задачи 2-1а).
б) то же в задаче 2-1 б) (эдесь надо учесть энергию колечка);
в) то же в условиях задачи 2-1 в) (с учётом потерь на трение). 2-3. Вывести уравнение продольных упругих колебаний стержня. 2-4. Написать граничное условие на левом конце стержня, если этот конец свободен.
Рис. 8
Рис. 9
2-5. Написать граничное условие на левом конце стержня, если этот конец упруго закреплён (см. рис. 9).
2-6. Получить закон сохранения энергии для стержня, у которого
а) концы закреплены;
б) концы свободны;
в) один конец закреплён жестко, а другой упруго.
2-7. Вывести уравнение продольных колебаний конического стержня.
2-8. Доказать, что энергия участка струны, заключённого между точками с 
является невозрастающей функцией времени. Получить отсюда единственность решения задачи Коши и информацию об области зависимости для отрезка 
и о его области влияния.
2-9. Сформулировать и доказать закон сохранения энергии для бесконечной струны.
2-10. Нарисовать мультфильм, описывающий колебания бесконечной струны с начальными данными 
где 
при 
при 
2-11. Описать колебания бесконечной струны, происходящие при 
и такие, что некоторый участок струны 
покоится в течение всего времени этих колебаний.
2-12. То же, что и в предыдущей задаче, но участок струны 
покоится при 
.
2-13. Нарисовать мультфильм, описывающий колебания полуограниченной струны со свободным концом (граничное условие их 
— см. задачу 2-1 а) и с начальными условиями 
график 
имеет форму равнобедренного треугольника с основанием 
2-14. Нарисовать мультфильм, описывающий колебания полуограниченной струны с закрепленным концом и с начальными условиями 
где 
— характеристическая функция интервала (1, 31).
2-15. Получить закон сохранения энергии для полуограниченной струны с закрепленным концом.
2-16. Вдоль стержня, левый конец которого упруго закреплен, при 
бежит волна 
. Найти отражённую волну.
2-17. Вдоль бесконечной струны со скоростью 
движется источник гармонических колебаний частоты 
, т. е. 
.
Описать колебания струны справа и слева от источника. Найти частоты индуцированных колебаний фиксированной точки струны справа и слева от источника и дать физическую интерпретацию результата (эффект Допплера).
2-18. Описать и нарисовать стоячие волны в струне со свободными концами.
2-19. Доказать существование бесконечной серии стоячих волн в стержне, у которого один конец закреплен жестко, а другой упруго (см. задачу 2-5). Доказать ортогональность собственных функций. Найти коротковолновую асимптотику собственных значений.
2-20. На правый конец стержня при 
действует сила, меняющаяся по закону 
Написать формулу для решения и выяснить условия резонанса, если левый конец
а) закреплен;
б) свободен.
2-21. Правый конец стержня при 
колеблется по закону 
Написать формулу для решения и выяснить условия резонанса, если левый конец
а) закреплен;
б) свободен;
в) упруго закреплен.
