§ 10. Свойства потенциалов и их вычисление

Мы уже говорили о потенциалах в разных местах курса. В § 4 (замечание 4.8) мы обсуждали физический смысл фундаментального решения оператора Лапласа в . Там было объяснено, что фундаментальное решение оператора Лапласа в имеет смысл потенциала точечного заряда, а фундаментальное решение оператора Лапласа в имеет смысл потенциала тонкой заряженной нити. Потенциал нити нельзя определять в виде обычного интеграла (он получается расходящимся). Мы указали два способа определения этого потенциала: восстановление его по напряжённости поля (являющейся градиентом потенциала с обратным знаком) и придание смысла расходящемуся интегралу с помощью перенормировки заряда. Оба способа определяют потенциал нити с точностью до постоянной, однако этого достаточно, поскольку в конечном итоге мы интересуемся лишь напряжённостью электростатического поля, являющейся физически измеримой величиной, в то время как потенциал является вспомогательным математическим объектом (по крайней мере, в классической электродинамике).

В § 5 (в примере 5.2) мы определили обобщённые функции, названные простым слоем и двойным слоем на плоскости и на произвольной поверхности и объяснили их физический смысл. В примере 5.6 этого же параграфа мы ввели потенциалы простого и двойного слоев как свёртки фундаментального решения с простым и двойным слоями на поверхности.

В п. 9.1 выяснились роль и смысл скалярного и векторного потенциалов в электродинамике.

В этом параграфе мы обсудим свойства потенциалов (а также их определения и вычисление) чуть подробнее. Однако прежде чем знакомиться с этими подробностями, мы рекомендуем читателю перечитать указанные выше места из основного текста.

Потенциалы мы будем понимать достаточно гибко. Когда предварительные определения, с которых мы начнём, станут непригодными, мы изменим их так, как нам будет удобно, следя всё время за тем, чтобы сохранились физически измеримые величины.

10.1. Определение потенциалов

Пусть — стандартное фундаментальное решение оператора Лапласа именно:

где — площадь единичной сферы в ;

В частности, наиболее важен случай :

Здесь имеет физический смысл потенциала точечного заряда, равного 1 в подходящей системе единиц, а означает потенциал бесконечной равномерно заряженной прямолинейной проволоки с единичной плотностью заряда (см., например, [52, т. 2, гл. 4, § 3 и гл. 5, § 5])

Все потенциалы имеют вид

где , т.е. — обобщённая функция с компактным носителем в . Таким образом, при или 2 это потенциалы некоторых распределенных зарядов.

Каждый потенциал вида (10.1) удовлетворяет уравнению

в .

Мы будем рассматривать потенциалы следующих видов.

1. Объёмным потенциалом зарядов, распределённых с плотностью , назовем интеграл

Мы будем всегда предполагать при этом, что — локально интегрируемая функция с компактным носителем, которая является кусочно-гладкой, т.е. вне конечного объединения гладких гиперповерхностей в на которых р может иметь скачки. То же самое предполагается относительно всех производных дар, взятых вне этих гиперповерхностей. Примером допустимой функции является характеристическая функция произвольной ограниченной области с гладкой границей.

Важнейшим свойством объёмного потенциала является то, что он удовлетворяет уравнению

понимаемому в смысле теории обобщённых функций и вытекающему из того, что

2. Потенциалом простого слоя назовем интеграл

где Г — гладкая гиперповерхность в , а — гладкая функция на — элемент площади на Г. Пока мы будем считать, что а имеет компактный носитель (в дальнейшем нам встретятся и примеры, когда это не так). Этот потенциал удовлетворяет уравнению

где — обобщённая функция с носителем на Г, определённая в примере 5.2.

3. Потенциалом двойного слоя назовем интеграл

где — внешняя (или еще каким-нибудь образом выбранная) нормаль к Г в точке у, а остальные обозначения такие же, как в предыдущем случае. Потенциал двойного слоя удовлетворяет уравнению

где — «двойной слой» — обобщённая функция, определённая в примере 5.2. И в этом случае также пока считаем, что а имеет компактный носитель. Мы будем также предполагать, что .

Легко видеть, что потенциалы определены в и представляют собой бесконечно дифференцируемые функции в (где в случае объёмного потенциала (10.3) надо понимать Г как объединение поверхностей, где р или её производные имеют скачки).

Мы будем рассматривать их как обобщенные функции в понимаемые как свёртки (10.1), где для объёмного потенциала в случае потенциала простого слоя , где

а в случае потенциала двойного слоя

где

Ясно, что во всех этих случаях при свёртки совпадают с выражениями, задаваемыми интегралами (10.3)-(10.5).

Физический смысл потенциалов (10.3)-(10.5) ясен из того, что было сказано выше (см. п. 5.2).