Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 10. Свойства потенциалов и их вычисление
Мы уже говорили о потенциалах в разных местах курса. В § 4 (замечание 4.8) мы обсуждали физический смысл фундаментального решения оператора Лапласа в
. Там было объяснено, что фундаментальное решение
оператора Лапласа в
имеет смысл потенциала точечного заряда, а фундаментальное решение
оператора Лапласа в
имеет смысл потенциала тонкой заряженной нити. Потенциал нити нельзя определять в виде обычного интеграла (он получается расходящимся). Мы указали два способа определения этого потенциала: восстановление его по напряжённости поля (являющейся градиентом потенциала с обратным знаком) и придание смысла расходящемуся интегралу с помощью перенормировки заряда. Оба способа определяют потенциал нити с точностью до постоянной, однако этого достаточно, поскольку в конечном итоге мы интересуемся лишь напряжённостью электростатического поля, являющейся физически измеримой величиной, в то время как потенциал является вспомогательным математическим объектом (по крайней мере, в классической электродинамике).
В § 5 (в примере 5.2) мы определили обобщённые функции, названные простым слоем и двойным слоем на плоскости
и на произвольной поверхности и объяснили их физический смысл. В примере 5.6 этого же параграфа мы ввели потенциалы простого и двойного слоев как свёртки фундаментального решения
с простым и двойным слоями на поверхности.
В п. 9.1 выяснились роль и смысл скалярного и векторного потенциалов в электродинамике.
В этом параграфе мы обсудим свойства потенциалов (а также их определения и вычисление) чуть подробнее. Однако прежде чем знакомиться с этими подробностями, мы рекомендуем читателю перечитать указанные выше места из основного текста.
Потенциалы мы будем понимать достаточно гибко. Когда предварительные определения, с которых мы начнём, станут непригодными, мы изменим их так, как нам будет удобно, следя всё время за тем, чтобы сохранились физически измеримые величины.
10.1. Определение потенциалов
Пусть
— стандартное фундаментальное решение оператора Лапласа
именно:
где
— площадь единичной сферы в
;
В частности, наиболее важен случай
:
Здесь
имеет физический смысл потенциала точечного заряда, равного 1 в подходящей системе единиц, а
означает потенциал бесконечной равномерно заряженной прямолинейной проволоки с единичной плотностью заряда (см., например, [52, т. 2, гл. 4, § 3 и гл. 5, § 5])
Все потенциалы имеют вид
где
, т.е.
— обобщённая функция с компактным носителем в
. Таким образом, при
или 2 это потенциалы некоторых распределенных зарядов.
Каждый потенциал вида (10.1) удовлетворяет уравнению
в
.
Мы будем рассматривать потенциалы следующих видов.
1. Объёмным потенциалом зарядов, распределённых с плотностью
, назовем интеграл
Мы будем всегда предполагать при этом, что
— локально интегрируемая функция с компактным носителем, которая является кусочно-гладкой, т.е.
вне конечного объединения гладких гиперповерхностей в
на которых р может иметь скачки. То же самое предполагается относительно всех производных дар, взятых вне этих гиперповерхностей. Примером допустимой функции
является характеристическая функция произвольной ограниченной области с гладкой границей.
Важнейшим свойством объёмного потенциала является то, что он удовлетворяет уравнению
понимаемому в смысле теории обобщённых функций и вытекающему из того, что
2. Потенциалом простого слоя назовем интеграл
где Г — гладкая гиперповерхность в
, а — гладкая функция на
— элемент площади на Г. Пока мы будем считать, что а имеет компактный носитель (в дальнейшем нам встретятся и примеры, когда это не так). Этот потенциал удовлетворяет уравнению
где
— обобщённая функция с носителем на Г, определённая в примере 5.2.
3. Потенциалом двойного слоя назовем интеграл
где
— внешняя (или еще каким-нибудь образом выбранная) нормаль к Г в точке у, а остальные обозначения такие же, как в предыдущем случае. Потенциал двойного слоя удовлетворяет уравнению
где
— «двойной слой» — обобщённая функция, определённая в примере 5.2. И в этом случае также пока считаем, что а имеет компактный носитель. Мы будем также предполагать, что
.
Легко видеть, что потенциалы
определены в
и представляют собой бесконечно дифференцируемые функции в
(где в случае объёмного потенциала (10.3) надо понимать Г как объединение поверхностей, где р или её производные имеют скачки).
Мы будем рассматривать их как обобщенные функции в
понимаемые как свёртки (10.1), где для объёмного потенциала
в случае потенциала простого слоя
, где
а в случае потенциала двойного слоя
где
Ясно, что во всех этих случаях при
свёртки
совпадают с выражениями, задаваемыми интегралами (10.3)-(10.5).
Физический смысл потенциалов (10.3)-(10.5) ясен из того, что было сказано выше (см. п. 5.2).