10.2. Функции, гладкие вплоть до Г с каждой стороны, и их производные
Пусть
— область в
— гладкая гиперповерхность в
(т. е. замкнутое подмногообразие коразмерности 1 в
). Будем говорить, что и является гладкой (или бесконечно дифференцируемой) вплоть до Г с каждой стороны, если каждая производная
непрерывна вплоть Г с каждой стороны гиперповерхности Г.
Точнее, при любом
должна существовать такая окрестность U точки
в Q, что
, где
открыты и ограничения
продолжаются до функций
.
В дальнейшем нас часто будут интересовать лишь локальные вопросы, где с самого начала можно предполагать, что
и вышеупомянутое разложение имеет вид
, причем
,
Наша цель — доказать, что все потенциалы являются функциями, гладкими вплоть до Г с каждой стороны (это, в свою очередь, позволит доказать теоремы о скачках потенциалов, вычислять и применять потенциалы). Для этого вначале мы установим некоторые вспомогательные леммы о функциях, гладких вплоть до Г с каждой стороны.
Если функция
является гладкой вплоть до Г с каждой стороны, то она однозначно определяет такую обобщённую функцию
что
. Мы хотим сейчас научиться применять к
дифференциальные операторы с гладкими коэффициентами. Договоримся употреблять обозначение
только в случае, когда и — гладкая вплоть до Г с каждой стороны.
Выбрав произвольную точку
, мы можем в некоторой окрестности U этой точки построить диффеоморфизм, превращающий Г в часть гиперплоскости
. Здесь
где
. Этот диффеоморфизм индуцирует замену переменных, превращающую дифференциальный оператор в другой дифференциальный оператор того же порядка (см. § 1). Таким образом, достаточно рассмотреть малую окрестность U точки
и при этом можно предполагать, что координаты выбраны так, что
а нормаль
имеет вид
; в частности
.
Обозначим через
скачок
нормальной производной функции и на Г, т. е.
где
Заметим, что скачки всех остальных производных выражаются через функции
по формулам
если
где
—
-мерный мультииндекс.
Лемма 10.1. Производные
выражаются формулами
Доказательство. Для любой функции
что даёт формулу (10.6). Формула (10.7) получается повторным применением формулы (10.6), а формула (10.8) выводится из (10.6), если заметить, что
как видно из интегрирования по частям по переменной
.
Пусть теперь о
. Нам надо научиться умножать обобщённые функции, появляющиеся в правых частях формул
на гладкие функции. Для этого прежде всего напишем разложение Тейлора функции
по
вблизи
Оно имеет вид
где
(здесь V — некоторая окрестность Г) и
Левша 10.2. Если
то
(10.10)
(10.11)
Доказательство. Ясно, что
для любой обобщённой функции
Далее,
Прямое вычисление показывает, что
при
так что учитывая представление
в виде (10.9), мы немедленно приходим к (10.10), (10.11).
Лемма 10.3. Для любого набора функций
существует такая функция
, гладкая вплоть до Г с каждой стороны, что
есть скачок производной
на Г для любого
Доказательство. Мы можем взять, например, в описанныхвыше локальных координатах
где
— функция Хевисайда.
Лемма 10.4. Пусть обобщённая функция
имеет вид
(10.12)
где
Пусть А — такой линейный дифференциальный оператор второго порядка, что поверхность Г всюду нехарактеристична для А. Тогда для любого целого
существует такая функция u, определённая в окрестности
гиперповерхности Г в
, что
(10.13)
Доказательство. По лемме 10.3 дело сводится к выбору функций
являющихся скачками нормальных производных функции u. Из лемм 10.1 и 10.2 ясно, что обобщённая функция
также имеет вид (10.12) (быть может, с другими
).
Мы должны подобрать скачки
таким образом, чтобы скачки производных
на Г совпадали при
(отсюда очевидным образом вытекает, что
), к чему мы и стремимся).
Заметим прежде всего, что нехарактеристичность Г по отношению к А означает, что оператор А может быть представлен в виде
где
не содержит
. Поскольку
в окрестности гиперповерхности Г, мы можем разделить (10.13) на
и свести дело к случаю
. Следовательно, мы можем предположить, что
(10.14)
где А' — дифференциальный оператор второго порядка, не содержащий
.
Начнём с выбора такой функции
, что
где
— любая функция (гладкая вплоть до Г с каждой стороны),
. Из лемм 10.1 и 10.2 ясно, что для этого достаточно взять
, где
— скачок фунющи
на Г. Теперь мы можем переписать (10.13) в виде
(10.15)
с некоторыми
и
, где
.
Теперь выберем такую функцию
, что
где
— такое же, как в (10.15), а
произвольна. Если
и — скачки функции
и на Г, то достаточно выполнения соотношений
Полагая
мы видим, что условие (10.13) для и может быть сформулировано в терминах как
(10.16)
где функция
является гладкой вплоть до Г с каждой стороны. Мы докажем возможность такого выбора
индукцией по N, начиная с
, где
означает просто множество всех функций, гладких вплоть до Г с каждой стороны.
Предположим, что мы уже выбрали такую функцию
что
где k — неотрицательное целое число (при
это сводится просто к условию
т.е. к отсутствию скачков функций
на Г). Выберем такую функцию
что
(10.18)
Для этого положим
где
(это нужно для сохранения (10.17) при замене
на
Ясно, что
, откуда следует, что (10.18) сводится к соотношению
где
. Этого можно добиться, положив, например,
чтобы скачки
производных функций
на Г совпали.
Таким образом, мы доказали возможность провести индукцию по N, что завершает доказательство леммы.