10.2. Функции, гладкие вплоть до Г с каждой стороны, и их производные

Пусть — область в — гладкая гиперповерхность в (т. е. замкнутое подмногообразие коразмерности 1 в ). Будем говорить, что и является гладкой (или бесконечно дифференцируемой) вплоть до Г с каждой стороны, если каждая производная непрерывна вплоть Г с каждой стороны гиперповерхности Г.

Точнее, при любом должна существовать такая окрестность U точки в Q, что , где открыты и ограничения продолжаются до функций .

В дальнейшем нас часто будут интересовать лишь локальные вопросы, где с самого начала можно предполагать, что и вышеупомянутое разложение имеет вид , причем ,

Наша цель — доказать, что все потенциалы являются функциями, гладкими вплоть до Г с каждой стороны (это, в свою очередь, позволит доказать теоремы о скачках потенциалов, вычислять и применять потенциалы). Для этого вначале мы установим некоторые вспомогательные леммы о функциях, гладких вплоть до Г с каждой стороны.

Если функция является гладкой вплоть до Г с каждой стороны, то она однозначно определяет такую обобщённую функцию что . Мы хотим сейчас научиться применять к дифференциальные операторы с гладкими коэффициентами. Договоримся употреблять обозначение только в случае, когда и — гладкая вплоть до Г с каждой стороны.

Выбрав произвольную точку , мы можем в некоторой окрестности U этой точки построить диффеоморфизм, превращающий Г в часть гиперплоскости . Здесь где . Этот диффеоморфизм индуцирует замену переменных, превращающую дифференциальный оператор в другой дифференциальный оператор того же порядка (см. § 1). Таким образом, достаточно рассмотреть малую окрестность U точки и при этом можно предполагать, что координаты выбраны так, что

а нормаль имеет вид ; в частности .

Обозначим через скачок нормальной производной функции и на Г, т. е.

где Заметим, что скачки всех остальных производных выражаются через функции по формулам

если где — -мерный мультииндекс.

Лемма 10.1. Производные выражаются формулами

Доказательство. Для любой функции

что даёт формулу (10.6). Формула (10.7) получается повторным применением формулы (10.6), а формула (10.8) выводится из (10.6), если заметить, что

как видно из интегрирования по частям по переменной .

Пусть теперь о . Нам надо научиться умножать обобщённые функции, появляющиеся в правых частях формул на гладкие функции. Для этого прежде всего напишем разложение Тейлора функции по вблизи Оно имеет вид

где (здесь V — некоторая окрестность Г) и

Левша 10.2. Если то

(10.10)

(10.11)

Доказательство. Ясно, что

для любой обобщённой функции Далее,

Прямое вычисление показывает, что при так что учитывая представление в виде (10.9), мы немедленно приходим к (10.10), (10.11).

Лемма 10.3. Для любого набора функций существует такая функция , гладкая вплоть до Г с каждой стороны, что есть скачок производной на Г для любого

Доказательство. Мы можем взять, например, в описанныхвыше локальных координатах

где — функция Хевисайда.

Лемма 10.4. Пусть обобщённая функция имеет вид

(10.12)

где Пусть А — такой линейный дифференциальный оператор второго порядка, что поверхность Г всюду нехарактеристична для А. Тогда для любого целого существует такая функция u, определённая в окрестности гиперповерхности Г в , что

(10.13)

Доказательство. По лемме 10.3 дело сводится к выбору функций являющихся скачками нормальных производных функции u. Из лемм 10.1 и 10.2 ясно, что обобщённая функция также имеет вид (10.12) (быть может, с другими ).

Мы должны подобрать скачки таким образом, чтобы скачки производных на Г совпадали при (отсюда очевидным образом вытекает, что ), к чему мы и стремимся).

Заметим прежде всего, что нехарактеристичность Г по отношению к А означает, что оператор А может быть представлен в виде

где не содержит . Поскольку в окрестности гиперповерхности Г, мы можем разделить (10.13) на и свести дело к случаю . Следовательно, мы можем предположить, что

(10.14)

где А' — дифференциальный оператор второго порядка, не содержащий .

Начнём с выбора такой функции , что

где — любая функция (гладкая вплоть до Г с каждой стороны), . Из лемм 10.1 и 10.2 ясно, что для этого достаточно взять , где — скачок фунющи на Г. Теперь мы можем переписать (10.13) в виде

(10.15)

с некоторыми и , где .

Теперь выберем такую функцию , что

где — такое же, как в (10.15), а произвольна. Если и — скачки функции и на Г, то достаточно выполнения соотношений

Полагая мы видим, что условие (10.13) для и может быть сформулировано в терминах как

(10.16)

где функция является гладкой вплоть до Г с каждой стороны. Мы докажем возможность такого выбора индукцией по N, начиная с , где означает просто множество всех функций, гладких вплоть до Г с каждой стороны.

Предположим, что мы уже выбрали такую функцию что

где k — неотрицательное целое число (при это сводится просто к условию т.е. к отсутствию скачков функций на Г). Выберем такую функцию что

(10.18)

Для этого положим где (это нужно для сохранения (10.17) при замене на Ясно, что , откуда следует, что (10.18) сводится к соотношению

где . Этого можно добиться, положив, например,

чтобы скачки производных функций на Г совпали.

Таким образом, мы доказали возможность провести индукцию по N, что завершает доказательство леммы.