Функцией Грина оператора Лапласа в
называется ядро (в смысле Шварца) оператора
т.е. такая (обобщённая) функция
, что
Доказать, что
и что G однозначно определяется этими условиями. Дать физическую интерпретацию функции Грина.
8-2. Выяснить, какую особенность имеет функция Грина G(x, у) при
.
8-3. Доказать, что функция Грина симметрична, т. е.
8-4. Доказать, что решение задачи
в области
записывается через функцию Грина формулой:
где
— внешняя нормаль к границе в точке
— элемент площади границы в точке у.
8-5. Функцией Грина оператора Лапласа в неограниченной области
будем называть такую функцию
, что
и выполнено следующее условие на бесконечности:
при
(при фиксированном
), если
ограничена при
и при фиксированном
, если
Найти функцию Грина полупространства
8-6. Пользуясь результатом предыдущей задачи, написать формулу для решения задачи Дирихле в полупространстве
при
. Решить эту задачу Дирихле также с помощью преобразования Фурье по
и сравнить получившиеся результаты.
8-7. Найти функцию Грина круга в
и шара в
Написать формулу для решения задачи Дирихле в круге и шаре. Вывести отсюда формулу Пуассона из задачи 7-2 (при
. Найти функцию Грина полушара.
8-10. Найти функцию Грина четверти пространства
т. е. области
.
8-11. Функция Бесселя
задана рядом
Доказать, что если
, то
.
8-12. Доказать, что если
, то уравнение Бесселя
наряду с решением
имеет решение вида
8-13. Доказать, что разложение функции в ряд Лорана по
имеет вид
8-14. Доказать, что разложение функции
в ряд Фурье по
имеет вид
8-15. Найти собственные значения и собственные функции оператора Лапласа в прямоугольнике. Доказать, что полученные таким образом функции составляют полную ортогональную систему.
8-16. Пусть
все нули функции Бесселя
при
Доказать, что
8-17. Используя результат задачи 8-16, найти полную ортогональную систему собственных функций оператора Лапласа в круге.
8-18. Описать схему решения методом Фурье задачи Дирихле в прямом круговом цилиндре (конечной высоты).