Задачи

8-1. Пусть — ограниченная область в с гладкой границей. Пусть L — самосопряженный оператор в определяемый оператором Лапласа в области с граничными условиями Дирихле.

Функцией Грина оператора Лапласа в называется ядро (в смысле Шварца) оператора т.е. такая (обобщённая) функция , что

Доказать, что

и что G однозначно определяется этими условиями. Дать физическую интерпретацию функции Грина.

8-2. Выяснить, какую особенность имеет функция Грина G(x, у) при .

8-3. Доказать, что функция Грина симметрична, т. е.

8-4. Доказать, что решение задачи в области записывается через функцию Грина формулой:

где — внешняя нормаль к границе в точке — элемент площади границы в точке у.

8-5. Функцией Грина оператора Лапласа в неограниченной области будем называть такую функцию , что и выполнено следующее условие на бесконечности: при (при фиксированном ), если ограничена при и при фиксированном , если Найти функцию Грина полупространства

8-6. Пользуясь результатом предыдущей задачи, написать формулу для решения задачи Дирихле в полупространстве при . Решить эту задачу Дирихле также с помощью преобразования Фурье по и сравнить получившиеся результаты.

8-7. Найти функцию Грина круга в и шара в Написать формулу для решения задачи Дирихле в круге и шаре. Вывести отсюда формулу Пуассона из задачи 7-2 (при . Найти функцию Грина полушара.

8-10. Найти функцию Грина четверти пространства т. е. области .

8-11. Функция Бесселя задана рядом

Доказать, что если , то .

8-12. Доказать, что если , то уравнение Бесселя

наряду с решением имеет решение вида

8-13. Доказать, что разложение функции в ряд Лорана по имеет вид

8-14. Доказать, что разложение функции в ряд Фурье по имеет вид

8-15. Найти собственные значения и собственные функции оператора Лапласа в прямоугольнике. Доказать, что полученные таким образом функции составляют полную ортогональную систему.

8-16. Пусть все нули функции Бесселя при Доказать, что

8-17. Используя результат задачи 8-16, найти полную ортогональную систему собственных функций оператора Лапласа в круге.

8-18. Описать схему решения методом Фурье задачи Дирихле в прямом круговом цилиндре (конечной высоты).