9.5. Фундаментальное решение трёхмерного волнового оператора и решение неоднородного волнового уравнения

Положим

Теорема 9.4. Обобщённая функция удовлетворяет уравнению , т. е. является фундаментальным решением оператора Даламбера.

Доказательство. По существу утверждение вытекает из того, что при при .

Функцию можно рассматривать как гладкую функцию от t (при ) со значениями причём при t = 0 она сама непрерывна, а имеет скачок, равный . Поэтому применение оператора даёт .

Приведённые рассуждения трудно сделать совсем строгими (если стремиться к этому, то возникнет необходимость сложной возни с топологией в ). Однако можно рассматривать всё вышесказанное как эвристику, проведя проверку соотношения непосредственно. Это делается аналогично соответствующей проверке для уравнения теплопроводности (см. § 6, доказательство теоремы 6.4) и предоставляется читателю в качестве упражнения.

Теперь, пользуясь фундаментальным решением мы можем решить неоднородное волновое уравнение написав формулу

если свёртка в правой части имеет смысл. Свёртка (9.31) называется запаздывающим потенциалом В более подробной записи запаздывающий потенциал имеет вид

(здесь интегрирование во втором интеграле ведётся по у).

Пользуясь фундаментальным решением можно другим способом получить формулу Кирхгофа (9.22) для решения задачи Коши (9.23). А именно, пусть решение задачи Коши (9.23) задано при . Продолжим его нулём на полупространство и рассмотрим полученную обобщённую функцию и . Легко видеть, что

Решение этого уравнения, равное нулю при можно найти в виде запаздывающего потенциала (9.31), беря равным правой части (9.33). Легко видеть, что мы приходим при этом опять к формуле Кирхгофа.

Отметим ещё, что запаздывающий потенциал найденный по формуле (9.32), зависит лишь от значений при т. е. от значений в точках нижней половины светового конуса с вершиной в точке (слово «нижняя» здесь понимается в смысле направления оси t). В этом смысл термина запаздывающий потенциал. Указанное свойство запаздывающего потенциала обеспечивается тем фактом, что

Фундаментальное решение оператора , обладающее этим свойством, единственно. Имеет место даже следующий более сильный факт.

Теорема 9.5. Существует ровно одно фундаментальное решение оператора , сосредоточенное в полупространстве а именно, .

Доказательство. Если бы существовало два таких решения, то их разность удовлетворяла бы волновому уравнению и была бы равна нулю при Если бы и было гладкой функцией, то из единственности решения задачи Коши вытекало бы, что (данные Коши при равны нулю). Мы можем, однако, сделать и гладкой с помощью усреднения.

Пусть так что при . Тогда

в (см. § 5, предложение 5.3). Но и

и

Поэтому в силу единственности решения задачи Коши для волнового уравнения и при любом откуда что и требовалось.

Важность теоремы 9.5 состоит в том, что из всех фундаментальных решений она выделяет единственное, удовлетворяющее «принципу причинности», состоящему в том, что нельзя передавать информацию в «прошлое». Поэтому в электродинамике для решения уравнений вида , которым удовлетворяют скалярный и векторный потенциалы, используется именно это фундаментальное решение. По-видимому, сама природа в пределах достижимой на сегодняшний день точности эксперимента использует среди всех решений уравнения решение удовлетворяющее принципу причинности.