9.6. Двумерное волновое уравнение (метод спуска)

Решим задачу Коши для уравнения

с начальными условиями

Идея решения (метод спуска) очень проста: введём дополнительную переменную и решим задачу Коши для трёхмерного волнового уравнения и (где — лапласиан по переменным ), но с начальными условиями (9.35), не зависящими от . Тогда решение фактически не будет зависеть от поскольку функция является решением того же уравнения и и при любом z и удовлетворяет тем же начальным условиям (9.35); следовательно, по теореме единственности решения задачи Коши для трёхмерного волнового уравнения не зависит от z, т.е. и не зависит от . Таким образом, решение задачи Коши существует (например, для любых ), . Оно единственно просто по теореме единственности, относящейся к трёхмерному случаю, так как решение задачи можно рассматривать и как решение трёхмерной задачи Коши.

Теперь запишем по формуле Кирхгофа. Имеем:

где — элемент площади сферы (мы отождествляем точки с точками , имеющими третью координату 0; можно было бы придать этой координате и любое другое значение, так как от её выбора ничего не зависит). Преобразуем второе слагаемое в формуле (9.36), которое мы обозначим и

(первое слагаемое в (9.36) имеет вид

Рассмотрим сферу в пространстве по которой происходит интегрирование в (9.37). Это сфера с центром в точке а: и с радиусом (см. рис. 10). Мы должны проинтегрировать по сфере функцию, не зависящую от Фактически это означает, что мы дважды интегрируем по проекции сферы на плоскость . Пусть — мера Лебега на этой плоскости, — элемент площади сферы в точке у, проектирующийся в элемент площади Ясно, что , где — угол между нормалью к сфере и осью Но нормаль к сфере пропорциональна вектору имеющему длину . Будем интегрировать по верхней половине сферы (на которой и затем удвоим результат.

Рис. 10

Тогда из условия следует, что

Поэтому формулу (9.37) можно переписать в виде

где

Решение задачи Коши задается формулой

которая называется формулой Пуассона.

Из формулы Пуассона видно, что значение решения в точке а: при зависит от начальных данных в круге , а не только вблизи его границы (вспомним, что при начальные данные достаточно было знать вблизи сферы ). В частности, если сосредоточены вблизи точки О, то решение в какой-либо окрестности точки будет отлично от нуля всё время, начиная с некоторого момента. Таким образом, локализованное возмущение уже не видно как локализованное из другой точки, т. е. волна не проходит бесследно, а оставляет последействие (правда, убывающее по времени как — это видно из формулы (9.38)). Иными словами, принцип Гюйгенса при не имеет места.

Из формулы Пуассона методом спуска можно было бы получить формулу Даламбера, задающую решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения. Впрочем, мы уже вывели эту формулу другим способом.

Найдем ещё фундаментальное решение для двумерного волнового оператора. Аналогично трёхмерному случаю надо решить задачу Коши с начальными данными

Но из формулы Пуассона ясно, что такое решение имеет вид

где — функция Хевисайда.

Легко непосредственно проверить теперь, что функция локально интегрируема и является фундаментальным решением двумерного волнового оператора. Последнее проверяется так же, как в трёхмерном случае и мы оставляем это читателю в качестве упражнения. Наконец, из формулы Даламбера ясно, что фундаментальное решение для одномерного волнового оператора имеет вид