8.5. Вариационные принципы. Поведение собственных значений при изменении области. Оценки собственных значений

Пусть дан самосопряжённый полуограниченный снизу оператор А в гильбертовом пространстве и пусть он имеет дискретный спектр. Пусть — ортонормированная полная система собственных векторов оператора — соответствующие собственные значения, т.е. Дискретность спектра означает, что при Мы можем поэтому считать, что собственные значения упорядочены по возрастанию, т. е.

что мы и будем предполагать в дальнейшем.

Вместо набора собственных значений удобно рассматривать неубывающую функцию равную количеству собственных значений, не превосходящих А, т. е.

Эта функция принимает лишь неотрицательные целые значения, постоянна на интервалах между собственными значениями, а в самих собственных значениях имеет скачки, равные кратностям собственных значений. При этом она непрерывна справа, т.е.

Собственные значения легко восстанавливаются по функции . А именно, если А — любое вещественное число, то оно является собственным значением кратности (если ) то А не является собственным значением).

При этом если — целое неотрицательное, то Короче: однозначно определяется из условия

Имеет место следующее важное

Предложение 8.5. Имеет место соотношение

где буквой L обозначено конечномерное линейное подпространство в (под знаком написано, что берётся по таким L, что ) , при всех .

Если оператор А является расширением по Фридрихсу оператора и X не является собственным значением, то условие может быть заменено более сильным условием .

Доказательство. Пусть — конечномерное подпространство , натянутое на все собственные векторы с собственными значениями . Ясно, что и оператор на имеет лишь неположительные собственные значения и, значит, сам неположителен, т.е. . В частности, мы можем взять в правой части (8.38), Но Отсюда видно, что левая часть (8.38) не больше правой. Теперь проверим, что левая часть (8.38) не меньше правой. Пусть , и . Мы хотим доказать, что . Фиксируем такое подпространство L и положим (ортогональное дополнение). Ясно, что если и то и разлагается по собственным функциям с собственными значениями . Поэтому если и то . Отсюда следует, что . Рассмотрим теперь оператор , проектирующий на параллельно т.е. если где , то .

Ясно, что . Рассмотрим теперь оператор Поскольку — мономорфизм. Следовательно, что и требовалось.

Остаётся проверить последнее утверждение предложения. Можно считать без ущерба для общности, что . Будем использовать гильбертово пространство полученное пополнением по норме, задаваемой скалярным произведением . Вместо в (8.38) мы можем писать . Пусть — норма в пространстве Пусть L — любое конечномерное подпространство в . В частности, . Выберем в L ортогональный (в смысле Н) базис и пусть векторы таковы, что , где достаточно мало. Пусть — подпространство, натянутое на

Легко видеть, что, при малом . В самом деле, если , то умножая равенство скалярно на , мы получаем

Но где при . Поэтому матрица близкая к единичной, обратима при малом . Поэтому и векторы линейно независимы, т. е.

Далее если , и , то где можно считать таким, что при . В самом деле, если , то вектор близок к по норме откуда и вытекает требуемое утверждение.

Положим теперь

Тогда из приведённого выше рассуждения ясно, что для любого для любого . Если А не является собственным значением, то непрерывна в точке А, откуда . Предложение 8.5 доказано.

Замечание. Разумеется, восстанавливается по (а именно: ).

Иногда более удобен другой способ описания собственных значений в терминах квадратичной формы. А именно, имеет место

Предложение 8.6. Имеют места формулы

Если A — расширение по Фридрихсу оператора , то заменив на на можно вместо включения писать соответственно.

Доказательство. Докажем формулу (8.40). Если (т.е. ), то .

Поэтому

причём равенство достигается при . Отсюда и следует (8.40). Докажем (8.41). Пусть — подпространство, натянутое на . Беря мы видим, что правая часть (8.41) не меньше левой. Теперь нужно проверить, что правая часть не больше левой, т. е. что если , то существует такой ненулевой вектор что . Но как и в доказательстве предложения 8.5, легко проверить, что (если бы оказалось, что то ортогональный проектор на L мономорфно отображал бы в L, что противоречит тому, что ). Поэтому можно взять и тогда ясно, что .

Последнее утверждение предложения 8.6 проверяется так же, как в предложении 8.5.

Вернемся к собственным значениям оператора в ограниченной области . Будем обозначать их а их функцию распределения — через . В нашем случае . Пусть теперь даны две области причём Тогда и из предложения 8.5 следует, что

поэтому

Собственные функции и собственные значения явно находятся, когда область есть прямоугольный параллелепипед. Пусть он имеет вид

Легко проверить, что собственные функции имеют вид

где — натуральные числа, — нормировочные постоянные. Собственные значения имеют вид:

Функции в нашем случае равна числу точек вида , лежащих в замкнутом шаре радиуса с центром в точке 0. Разрешая числам k, принимать любые целые значения, мы получим, что точки пробегают в решётку, получаемую очевидными растяжениями из целочисленной решётки. Легко проверить, что при больших А оценивается с двух сторон через объём шара радиуса т. е.

где — положительные постоянные.

Теперь заметим, что мы можем поместить в небольшой кубик и, наоборот, вложить в достаточно большой куб. Учитывая (8.42), мы видим, что неравенства (8.44) верны для любой ограниченной области .

На самом деле, уточняя эти рассуждения, можно доказать следующую асимптотическую формулу Г. Вейля:

(8.45)

где — объём единичного шара в — лебегов объём .