8.5. Вариационные принципы. Поведение собственных значений при изменении области. Оценки собственных значений
Пусть дан самосопряжённый полуограниченный снизу оператор А в гильбертовом пространстве
и пусть он имеет дискретный спектр. Пусть
— ортонормированная полная система собственных векторов оператора
— соответствующие собственные значения, т.е.
Дискретность спектра означает, что
при
Мы можем поэтому считать, что собственные значения упорядочены по возрастанию, т. е.
что мы и будем предполагать в дальнейшем.
Вместо набора собственных значений удобно рассматривать неубывающую функцию
равную количеству собственных значений, не превосходящих А, т. е.
Эта функция принимает лишь неотрицательные целые значения, постоянна на интервалах между собственными значениями, а в самих собственных значениях имеет скачки, равные кратностям собственных значений. При этом она непрерывна справа, т.е.
Собственные значения
легко восстанавливаются по функции
. А именно, если А — любое вещественное число, то оно является собственным значением кратности
(если
)
то А не является собственным значением).
При этом если
— целое неотрицательное, то
Короче:
однозначно определяется из условия
Имеет место следующее важное
Предложение 8.5. Имеет место соотношение
где буквой L обозначено конечномерное линейное подпространство в
(под знаком
написано, что
берётся по таким L, что
)
, при всех
.
Если оператор А является расширением по Фридрихсу оператора
и X не является собственным значением, то условие
может быть заменено более сильным условием
.
Доказательство. Пусть
— конечномерное подпространство
, натянутое на все собственные векторы
с собственными значениями
. Ясно, что
и оператор
на
имеет лишь неположительные собственные значения и, значит, сам неположителен, т.е.
. В частности, мы можем взять
в правой части (8.38), Но
Отсюда видно, что левая часть (8.38) не больше правой. Теперь проверим, что левая часть (8.38) не меньше правой. Пусть
, и
. Мы хотим доказать, что
. Фиксируем такое подпространство L и положим
(ортогональное дополнение). Ясно, что если и
то и разлагается по собственным функциям
с собственными значениями
. Поэтому если и
то
. Отсюда следует, что
. Рассмотрим теперь оператор
, проектирующий на
параллельно
т.е. если
где
, то
.
Ясно, что
. Рассмотрим теперь оператор
Поскольку
— мономорфизм. Следовательно,
что и требовалось.
Остаётся проверить последнее утверждение предложения. Можно считать без ущерба для общности, что
. Будем использовать гильбертово пространство
полученное пополнением
по норме, задаваемой скалярным произведением
. Вместо
в (8.38) мы можем писать
. Пусть
— норма в пространстве
Пусть L — любое конечномерное подпространство в
. В частности,
. Выберем в L ортогональный (в смысле Н) базис
и пусть векторы
таковы, что
, где
достаточно мало. Пусть
— подпространство, натянутое на
Легко видеть, что,
при малом
. В самом деле, если
, то умножая
равенство скалярно на
, мы получаем
Но
где
при
. Поэтому матрица
близкая к единичной, обратима при малом
. Поэтому
и векторы
линейно независимы, т. е.
Далее если
, и
, то
где можно считать
таким, что
при
. В самом деле, если
, то вектор
близок к
по норме
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Положим теперь
Тогда из приведённого выше рассуждения ясно, что
для любого
для любого
. Если А не является собственным значением, то
непрерывна в точке А, откуда
. Предложение 8.5 доказано.
Замечание. Разумеется,
восстанавливается по
(а именно:
).
Иногда более удобен другой способ описания собственных значений в терминах квадратичной формы. А именно, имеет место
Предложение 8.6. Имеют места формулы
Если A — расширение по Фридрихсу оператора
, то заменив
на
на
можно вместо включения
писать
соответственно.
Доказательство. Докажем формулу (8.40). Если
(т.е.
), то
.
Поэтому
причём равенство достигается при
. Отсюда и следует (8.40). Докажем (8.41). Пусть — подпространство, натянутое на
. Беря
мы видим, что правая часть (8.41) не меньше левой. Теперь нужно проверить, что правая часть не больше левой, т. е. что если
, то существует такой ненулевой вектор
что
. Но как и в доказательстве предложения 8.5, легко проверить, что
(если бы оказалось, что
то ортогональный проектор на L мономорфно отображал бы
в L, что противоречит тому, что
). Поэтому можно взять
и тогда ясно, что
.
Последнее утверждение предложения 8.6 проверяется так же, как в предложении 8.5.
Вернемся к собственным значениям оператора
в ограниченной области
. Будем обозначать их
а их функцию распределения
— через
. В нашем случае
. Пусть теперь даны две области
причём
Тогда
и из предложения 8.5 следует, что
поэтому
Собственные функции и собственные значения явно находятся, когда область
есть прямоугольный параллелепипед. Пусть он имеет вид
Легко проверить, что собственные функции имеют вид
где
— натуральные числа,
— нормировочные постоянные. Собственные значения имеют вид:
Функции
в нашем случае равна числу точек вида
, лежащих в замкнутом шаре радиуса
с центром в точке 0. Разрешая числам k, принимать любые целые значения, мы получим, что точки
пробегают в
решётку, получаемую очевидными растяжениями из целочисленной решётки. Легко проверить, что
при больших А оценивается с двух сторон через объём шара радиуса
т. е.
где
— положительные постоянные.
Теперь заметим, что мы можем поместить в
небольшой кубик и, наоборот, вложить
в достаточно большой куб. Учитывая (8.42), мы видим, что неравенства (8.44) верны для любой ограниченной области
.
На самом деле, уточняя эти рассуждения, можно доказать следующую асимптотическую формулу Г. Вейля:
(8.45)
где
— объём единичного шара в
— лебегов объём
.