8.2. Расширение по Фридрихсу

Приведём важный конкретный пример симметрического, но не самосопряжённого оператора. Пусть — оператор Лапласа, — ограниченная область в Рассмотрим в оператор имеющий область определения и переводящий . Элементарное интегрирование по частям показывает, что оператор симметричен, т.е.

где скобки означают скалярное произведение в . Этот оператор даже не замкнут. В самом деле, легко видеть, что если — компакт, лежащий в то существует такая последовательность функций (их легко получить, например, с помощью операции усреднения), что по норме . Беря мы видим, что оператор незамкнут. Однако его можно замкнуть. Это значит, что мы можем определить замкнутый оператор график которого есть замыкание графика оператора (в ).

Это значит, что если и существует такая последовательность , что , то мы полагаем . Легко видеть, что в этом случае по-прежнему

Отсюда, в частности, вытекает, что корректно определено (не зависит от выбора последовательности ) и что имеется включение

Кстати, легко видеть, что (это получается предельным переходом в тождестве, определяющем ).

Интересно понять, что такое . По определению, состоит из таких , что существует такое , что

Но это означает, что в смысле обобщённых функций. Поэтому

Описать не так просто. Впрочем, легко видеть, что . В самом деле (интеграл Дирихле от u) при . Поэтому если , то при , откуда , так что .

Итак, . В то же время, из (8.5) ясно, что Отсюда следует, что (например, если ), , то и и, значит, и но в то же время, и и, значит, . Таким образом, оператор симметричен и замкнут, но не самосопряжён.

Существует естественный способ конструкции самосопряжённого расширения любого полуограниченного симметрического оператора, которое называется расширением по Фридрихсу. По существу мы уже применяли эту конструкцию при построении обобщённого решения задачи . Теперь мы опишем расширение по Фридрихсу в более общей абстрактной форме.

Пусть дан симметрический оператор . Он называется полуограниченным снизу, если существует такая постоянная С, что

Если к оператору добавить оператор , где то для нового оператора (мы снова обозначим его ), будет выполнена оценка

Мы сразу будем считать, что выполнена более сильная оценка (8.7), поскольку с точки зрения интересующей нас задачи на собственные значения добавление ничего не меняет (оно лишь сдвигает собственные значения, не меняя собственных функций). Кстати, неравенство Фридрихса показывает, что в рассмотренном выше примере сразу выполнено неравенство (8.7).

Введём скалярное произведение

Оно определяет на предгильбертову структуру (положительная определённость ясна из ). Кроме того, если через обозначить соответствующую норму (т.е. ), то из сходимости по норме вытекает сходимость по норме пространства . В частности, если последовательность фундаментальна по норме то она фундаментальна по норме и, значит, сходится в .

Обозначим через пополнение по норме (в примере это пространство ).

Из неравенства (8.7) и приведённых выше рассуждений ясно, что имеется естественное отображение . А именно, образ элемента определяется как предел в последовательности которая сходится Докажем, что это отображение инъективно.

Прежде всего заметим, что по непрерывности скалярных произведений

Если то используя введённую выше последовательность мы получаем

откуда что и требовалось.

Итак, имеется естественное вложение , и мы будем в дальнейшем отождествлять элементы пространства с соответствующими элементами пространства .

Положим теперь

и

Мы получаем некоторый оператор называемый расширением по Фридрихсу оператора

Теорема 8.3. Расширение по Фридрихсу полуограниченного оператора является самосопряженным оператором Оно снова полуограничено снизу и для него

где та же постоянная, что и в аналогичной оценке для оператора .

Доказательство. Мы проверим, что обратный оператор существует, всюду определён, ограничен и симметричен. Отсюда будет вытекать, что оператор А самосопряжён (см. следствие 8.2). Прежде всего, проверим, что

В самом деле, это верно при . По непрерывности это верно при .

Теперь используем тождество

В частности, это верно при . При этом , так что мы имеем:

Но отсюда, в частности,

а здесь можно перейти к пределу по u (если предел берется ). Тогда получим

В частности, это верно при . Меняя местами , мы получим (8.11).

Из (8.11) следует, что

В частности, оператор А симметричен и

где то же, что и в оценке (8.7).

Из оценки (8.14) вытекает, в частности, что и определён обратный оператор . При этом из симметричности А вытекает симметричность оператора Из (8.14) вытекает и ограниченность оператора . В самом деле, если , то мы имеем:

откуда

Полагая , мы получим:

что и означает ограниченность оператора

Проверим, наконец, что т.е. что хотим доказать, что если , то существует такое что . Но это означает, что , т. е.

Учитывая (8.13), мы можем переписать это тождество в виде

Теперь из теоремы Рисса ясно, что для любого существует такое что выполнено тождество (8.16). Остаётся проверить, что . Но это ясно из того, что благодаря (8.12) мы можем наоборот переписать (8.16) в виде (8.15), что и требовалось. Теорема 8.3 доказана.

Перейдем теперь к рассмотрению конкретного примера, который служил для нас моделью.

Пусть — оператор на , где — ограниченная область в . Как мы уже видели, сопряжённый оператор переводит и в если и и (оператор применяется здесь в смысле теории обобщённых функций). В силу неравенства Фридрихса оператор положителен, т.е. выполнено (8.7). Построим расширение по Фридрихсу оператора . Это такой оператор А в , что

и

т.е.

По теореме 8.3 оператор А самосопряжён и положителен. Он называется обычно самосопряжённым оператором в определяемым дифференциальным оператором и граничными условиями Дирихле Оператор всюду определён и ограничен.