11.4. Быстро осциллирующие решения. Уравнение эйконала и уравнения переноса

Теперь мы хотим понять, каким образом волновая оптика переходит в геометрическую на очень коротких волнах (или, что то же самое, при высоких частотах).

Напомним, что плоская волна с частотой и волновым вектором к имеет вид

Вектор имеет длину где а — скорость распространения волн.

Для трёхмерного волнового уравнения величина а постоянна, т. е. не зависит от . Величину же можно считать произвольной, в частности, сколь угодно большой. Таким образом, для любого вектора длины и для любого имеется плоская волна вида

(11.32)

Мы можем считать теперь вектор фиксированным и устремить частоту Это и будет означать предельный переход к геометрической оптике для нашего случая плоской волны.

Будем называть фазой плоской волны (11.32) величину стоящую в показателе экспоненты. Зафиксируем и будем следить за поверхностями постоянной фазы , которые называются волновыми фронтами. При каждом t волновой фронт — это плоскость

С изменением времени, волновой фронт движется со скоростью а в направлении вектора Поэтому прямые, идущие в направлении естественно называть лучами.

Рассмотрим теперь общий дифференциальный оператор

и попробуем найти по аналогии с плоской волной (11.32) решение уравнения в виде

(11.33)

где А — большой параметр, — вещественнозначная функция, которую мы будем называть фазой. Вычисляя мы видим, что

(11.34)

где — главный символ оператора А (см. § 1). Не будем следить пока за членами, обозначенными в (11.34) через (они имеют вид многочлена от А степени не выше умноженного на экспоненту из (11.34) ясно, что если мы хотим добиться выполнения уравнения при сколь угодно больших А, то фаза должна удовлетворять уравнению

называемому в геометрической оптике уравнением эйконала и являющемуся уравнением Гамильтона-Якоби в случае, когда главный символ вещественнозначен (только этот случай мы и будем рассматривать в дальнейшем). Уравнение (11.35) обеспечивает выполнение уравнения «в первом приближении». Точнее, если имеет вид (11.33), то уравнение (11.35) равносильно условию

(11.36)

Мы видим, что нахождение волновых фронтов (поверхностей постоянной фазы) сводится в этом случае к решению уравнения Гамильтона-Якоби.

Предположив, что для уравнения Гамильтона-Якоби (11.35) выполнены условия разрешимости задачи Коши (например, оператор А гиперболический относительно какой-то переменной, обозначаемой через t), мы можем строить волновые фронты методами геометрической оптики, исходя из их расположения на начальном многообразии (в момент времени в гиперболическом случае).

Теперь попробуем удовлетворить уравнению более точно. Оказывается, что для этого надо искать решение и в виде

(11.37)

где

(11.38)

есть формальный ряд по степеням А, называемый амплитудой. Таким образом, также является формальным рядом. Придадим смысл выражению Легко видеть, что

где — линейные дифференциальные операторы. Применяя А к члену в ряде (11.37), мы получим

Через будем обозначать ряд

(11.41)

полученный применением А к каждому члену ряда (11.37), задающего и, и последующей группировкой членов с одинаковыми степенями А (членов, содержащих каждую степень А, будет лишь конечное число, как это видно из формулы ). Ряд и будем называть асимптотическим решением или быстро осциллирующим решением, если (т.е. ряд обращается в 0 в том смысле, что все коэффициенты равны 0).

Пусть и — асимптотическое решение вида (11.37). Рассмотрим конечный отрезок ряда, задающего u:

(11.42)

Тогда — уже настоящая функция от х, зависящая от А как от параметра. Ряд начинается с . Поэтому ряд наг чинается с . Но , так что

откуда видно, что

(11.43)

Таким образом, если мы знаем асимптотическое решение , то его конечные отрезки при больших А являются «почти решениями» с тем большей точностью, чем больше N.

Аналогичные соображения применимы к неоднородному уравнению и к граничным задачам для этого уравнения. Если граничная задача для уравнения такова, что она имеет единственное решение, непрерывно зависящее от (это часто получается, например, из энергетических оценок), то найдя такие что мало отличается от (при больших значениях А), мы увидим, что ввиду уравнения приближённое решение мало отличается от истинного решения и (мы считаем, что удовлетворяет тем же граничным условиям, что и u). Впрочем, «истинное решение» имеет не больший физический смысл, чем приближённое, так как в физике сами уравнения обычно являются приближенными. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить о приближённых решениях, не вспоминая об «истинном». Отметим, впрочем, что приближённое решение хорошо удовлетворяет уравнению лишь при больших значениях А (при «высоких частотах» или на «коротких волнах»).

Как же находить асимптотические решения? Отметим сразу же, что можно считать, что (если ) то можно вынести А за скобку и изменить нумерацию коэффициентов Может случиться, что , но для некоторого открытого подмножества . В этом случае на U и на дополнении к U надо проводить рассмотрение отдельно. Учитывая эти замечания, будем считать, что ни для какого открытого . Но тогда старший член в ряде имеет вид

(11.44)

и если мы хотим, чтобы он обратился в 0, то необходимо потребовать выполнения уравнения Гамильтона-Якоби (11.35) на фазу (и если это уравнение выполнено, то старший член (11.44) обращается в 0 независимо от поведения ).

Итак, пусть — решение уравнения Гамильтона-Якоби.

Теперь попробуем подобрать так, чтобы и следующие члены обратились в 0. Для этого нужно более подробно выписать коэффициенты в ряде для (см. формулу (11.41)). Пользуясь введёнными выше обозначениями, имеем, очевидно:

(11.45)

где — линейные дифференциальные операторы, зависящие от 5 и определяемые формулой (11.39). Суммирование в (11.45) идёт по тем и целым к 0, для которых и потому сумма конечна. При она состоит из одного слагаемого . Отсюда ясно, что в силу выбора фазы . Поэтому реально в (11.45) суммирование по от 1 до . Имеем:

Отсюда условия дают, помимо уже выписанного уравнения Гамильтона-Якоби, линейные дифференциальные уравнения на функции . Эти уравнения можно записать в виде

т. е. все они имеют вид

(11.46)

где выражается через . Уравнения (11.46) называются уравнениями переноса. Из них видно, что важную роль играет оператор .

Вычислим оператор . Мы считаем, что фаза удовлетворяет уравнению эйконала (11.35). Тогда оператор определяется из формулы:

(11.47)

Прямое вычисление, использующее формулу Лейбница, показывает, что при

где — мультииндекс, в котором на месте стоит 1, а остальные — нули. Поскольку

то вычисляя мы получим:

откуда видно, что

где — дифференцирование вдоль векторного поля

(11.49)

Каков геометрический смысл поля ? Напишем гамильтонову систему с гамильтонианом

и будем брать бихарактеристики, лежащие на графике градиента т.е. такие бихарактеристики для которых . Но тогда — касательный вектор к лучу соответствующему такой бихарактеристике. Поэтому уравнения переноса (11.46) имеют вид

т. е. являются линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями вдоль лучей. Тем самым, значение вдоль луча однозначно определяется значением

Пример 11.5. Рассмотрим в качестве примера волновое уравнение в неоднородной среде

(11.51)

где — гладкая положительная функция от . Будем по общему рецепту искать быстро осциллирующее решение вида

Главный символ соответствующего волнового оператора имеет вид

так что для фазы имеем следующее уравнение эйконала:

Уравнения

Отсюда — параметр вдоль бихарактеристипз). Поскольку нас интересуют лишь нулевые бихарактеристики, нужно также считать, что или .

Отсюда при находим:

В частности, скорость движения луча по величине равна . Отсюда легко следует, что будет скоростью движения волнового фронта в каждой точке.

Из первого и последнего уравнений бихарактеристик находим также

Итак, удовлетворяют системе уравнений

Эта система гамильтонова с гамильтонианом . В частности, вдоль траекторий . Выбор постоянной Но (определяемой начальными условиями) не повлияет на расположение лучей поскольку вместе с решением системы (11.53) является, очевидно при произвольном . Пользуясь этим обстоятельством, попробуем исключить . Заменяя на , получим из (11.53)

Теперь подставляя найденное из первого уравнения выражение для

во второе уравнение, мы получаем

Итак, мы показали, что всякий луч удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка (11.56). Это нелинейное дифференциальное уравнение (точнее система из таких уравнений).

Оно может быть разрешено относительно (коэффициент при этой производной равен , а мы считаем, что . Поэтому задание начальных данных (штрихом обозначается производная по t) однозначно определяет решение . Однако не всякое решение этого уравнения задаёт луч, поскольку переход от системы (11.53) к уравнению (11.56) был не вполне эквивалентен. Рассмотрим этот вопрос чуть-чуть подробнее.

Пусть — решение уравнения (11.56). Определим по формуле (11.55), выбрав пока произвольно положительную постоянную Но-Тогда уравнение (11.56) равносильно второму из уравнений (11.54), в то время как первое из уравнении (11.54) просто означает, что получается по формуле (11.55). Таким образом, если — решение системы (11.54) при произвольном значении то — решение (11.56) и, наоборот, если — решение (11.54) и — произвольная положительная постоянная, то существует и единственна такая функция что — решение системы (11.54).

Как перейти от системы (11.54) к системе ? Если — решение системы (11.54), причём , то ясно, что (11.53) выполняется тогда и только тогда, когда . Заметим, что для этого достаточно, чтобы было . В самом деле, достаточно проверить, что векторное поле

касается многообразия

Возьмём точку и кривую являющуюся решением системы (11.54) и удовлетворяющую начальному условию . В частности, вектор скорости совпадает с вектором поля в точке Нужно проверить, что вектор касается М в точке т.е. что

Но

поскольку ввиду того, что .

Итак, то решение системы (11.54) является решением и системы (11.53), откуда является лучом.

Теперь заметим, что из выражения (11.55) видно, что при каждом фиксированном t условие равносильно тому, что . В частности, если — решение уравнения (11.56), то является лучом и при всех t. Итак, лучи выделяются среди решений уравнения (11.56) тем, что их начальные условия таковы, что

Проверим, что лучи являются экстремалями функционала, задающего время, за которое свет проходит кривую («принцип Ферма»), т. е. функционала

где — элемент длины дуги кривой рассматривается как функция на кривой Г. Экстремальность понимается по всем вариациям, сохраняющим концы, т.е. в классе путей Г, соединяющих две фиксированные точки. Пусть эти точки обозначены Поскольку факт экстремальности не зависит от выбора параметра, то удобно считать, что параметр меняется всё время на отрезке [0, 1]. Итак, пусть . Будем брать вариации пути Г, сохраняя условия Экстремальность равносильна уравнениям Эйлера-Лагранжа для функционала

(здесь точка означает производную по ). Это известные уравнения Лагранжа

для лагранжиана . Они имеют вид:

Разумеется, факт экстремальности не зависит от выбора параметра и от того, в каких пределах меняется (можно менять на любом фиксированном отрезке . Пусть теперь — луч с параметром t, имеющим тот же смысл, что выше (т. е. таким, как в системе ). Мы знаем, что вдоль луча . Но тогда, полагая мы видим, что уравнение Лагранжа (11.57) переходит в уравнение (11.56), которое мы выше вывели для лучей. Итак, лучи удовлетворяют принципу Ферма. Этот результат согласуется, в частности, с тем, что в однородной среде (т. е. при ) лучи являются прямыми.

Выпишем уравнения переноса в описанной ситуации. Для этого нужно подставить ряд вида (11.52) в уравнение (11.51). Будем считать, что удовлетворяет уравнению эйконала. Тогда ряд начинается с .

Имеем:

Теперь вычислим . Первые члены в выражениях для сократятся ввиду уравнения эйконала. Приравнивал нулю коэффициенты при всех степенях А, получим, деля на :

(11.58)

Это и есть уравнения переноса. уравнений бихарактеристик видно, что поле

касается лучей, т. е. все уравнения (11.58) имеют вид

где зависит лишь от зависит от , а — луч с параметром а, рассматривавшимся в начале разбора этого примера.

Укажем другой способ рассмотрения этого примера и близких ему по структуре. Можно искать решения уравнения (11.51), имеющие вид

(11.59)

где — большой параметр, — формальный ряд вида

(11.60)

Уравнение (11.51) для функции вида (11.59) переходит в уравнение для типа уравнения Гельмгольца

(11.61)

Для функции получается уравнение эйконала вида

(11-62)

К тому же результату мы пришли бы, считая в исходной ситуации функцию S(t, х) имеющую вид . Мы не будем сейчас выписывать уравнения переноса для функций Они имеют структуру, близкую к структуре нестационарных уравнений переноса (11.58).

Замечание. Уравнения переноса описывают в физических задачах перенос энергии, поляризацию и другие важные физические явления. Однако мы не останавливаемся на этих вопросах, относящихся скорее к курсу физики.