§ 11. Волновые фронты и коротковолновое приближение для гиперболических уравнений

11.1. Характеристики, как поверхности разрывов

Пусть — область в — гладкая гиперповерхность в т.е. замкнутое (в ) подмногообразие коразмерности 1. Пусть в дан линейный дифференциальный оператор (см. § 1):

где — полный символ оператора А (равенство (11.1) является определением как А, так и Напомним, что

так что получается из , если все написать справа (как и сделано в ) и затем заменить на D. Главный символ оператора А имеет вид

Напомним, что поверхность S называется характеристикой оператора А, если для любой точки нормаль к S в точке удовлетворяет условию

Пусть теперь дана функция бесконечно дифференцируемая вплоть до 5 с каждой стороны (см. определение в 10.1). Используя те же обозначения, что и в § 10, мы локально имеем и существуют также функции что

Отметим сразу же, что фактически может случиться, что никаких разрывов нет, т.е. и продолжается до функции из Будем говорить, что S — поверхность разрыва первого рода для и, если, во-первых, и бесконечно дифференцируема вплоть до с каждой стороны и, во-вторых, для любой точки существует такой мультииндекс а, что имеет разрыв в точке , т.е. не продолжается до функции на , непрерывной в точке .

Реально это означает, что Отметим, что тогда то же самое будет верно на S и при близких к (с тем же мультииндексом а).

Теорема 11.1. Если S — поверхность разрыва первого рода функции и являющейся в решением уравнения , где , то S — характеристика оператора А.

Доказательство. Учитывая локальный характер теоремы и инвариантность понятия характеристики относительно выбора криволинейных координат, мы можем считать, что поверхность S имеет вид

где . Поскольку нормаль к S имеет вид , то характеристичность поверхности S означает, что на S обращается в 0 коэффициент при в операторе А: Мы будем доказывать теорему от противного. Пусть поверхность S нехарактеристична в какой-нибудь точке. Это означает, что коэффициент при отличен от 0 в этой точке и, значит, вблизи неё. Но тогда можно считать, что он отличен от 0 всюду в Разделив на этот коэффициент уравнение мы можем считать, что оно имеет вид

где — дифференциальный оператор в не содержащий производных по (он имеет порядок j, хотя это нам сейчас и не важно).

Пусть функция и бесконечно дифференцируема вплоть до S с каждой стороны, таковы, что Мы хотим доказать, что и продолжается до функции из т.е. скачки всех производных на самом деле равны нулю. Обозначим эти скачки через т. е.

Как и в § 10, особую роль играют скачки нормальных производных

Все скачки выражаются через скачки нормальных производных по очевидной формуле:

Поэтому достаточно доказать, что . Вычислим . По лемме 10.1

Аналогичным образом легко получить, что при любом целом к 1

Бели теперь — -мерный мультииндекс, , то

Пусть теперь . Аналогично доказательству леммы 10.2 мы получаем

(11.12)

где .

Формулы показывают, что если вне , то уравнение (11.6) можно переписать в виде

где — скачок функции и на (см. формулу (11.8) при . Из уравнения (11.13) ясно, что , так как левая часть (11.13) сосредоточена на S. Далее, применяя обобщённую функцию, стоящую в левой части (11.13), к основной функции равной в окрестности S (здесь ), мы получим, что все члены, кроме первого, обратятся в 0, а первый будет равен

Ввиду произвольности ясно, что , т. е. функция и не может сама иметь скачка на .

Аналогично доказывается, что и производные до порядка не могут иметь скачка на S. А именно, пусть р — наименьшее из всех чисел к, для которых Таким образом,

(11.14)

Мы хотим выделить самый сингулярный член в левой части уравнения (11.6). Это легко сделать, исходя из уже выписанных формул . А именно, при нахождении нормальных производных при к р будут получаться функции из . При мы получим

и уравнение (11.6) при приобретает вид

где Отсюда, как и выше, следует, что что противоречит исходному предположению. Итак, при .

Докажем теперь, что . Но это сразу ясно из уравнения (11.6), поскольку все производные где непрерывны в . Таким образом, нормальная производная порядка также не имеет скачка.

Рассмотрим теперь случай, когда где р — номер первой разрывной нормальной производной (см. (11.14)). Однако этот случай легко сводится к случаю . В самом деле, применяя к обеим частям уравнения (11.6) оператор видим, что и удовлетворяет уравнению того же вида, что и (11.6), но с показателем р вместо . Отсюда следует, что и случай невозможен. Теорема 11.1 полностью доказана.

Из теоремы 11.1 вытекает, что решения эллиптических уравнений не могут иметь разрывов первого рода описанной выше структуры. На самом деле они всегда просто бесконечно дифференцируемы (в нашем курсе это не будет доказываться).

Приведённые ниже примеры показывают, что неэллиптические уравнения могут иметь разрывные решения.

Пример 11.1. Уравнение имеет решение имеющее разрыв рода вдоль линии являющейся характеристикой. Вдоль характеристики можно устроить разрыв рода производных сколь угодно высокого порядка, рассмотрев решение где Аналогичные разрывы очевидным образом строятся вдоль любой характеристики (все характеристики имеют в нашем случае вид ).

Пример 11.2. Рассмотрим более сложный случай трёхмерного волнового уравнения Простейший пример разрывного решения можно получить, взяв сферическую волну имеющую, очевидно, разрыв рода на верхней поле светового конуса Сферу естественно называть волновым фронтом. Волновой фронт движется со скоростью а. В геометрической оптике лучом называют параметрически заданную (с параметром t) линию, нормальную к волновому фронту в каждый момент времени. В нашем примере лучи — прямые линии где Иногда лучом называют просто линию, нормальную ко всем волновым фронтам (без задания параметра). В дальнейшем мы более четко укажем терминологию геометрической оптики в связи с уравнением Гамильтона-Якоби.

Пример 11.3. Опять рассмотрим трёхмерное волновое уравнение но на этот раз попробуем построить решение, имеющее в начальный момент времени разрыв вдоль данной гладкой компактной поверхности . Пусть, например, где — ограниченная область в и начальные данные имеют вид где — характеристическая функция области равная 1 на и 0 вне . Попробуем понять, как будут вести себя разрывы функции и с ростом t, исходя из формулы Кирхгофа, по которой мы будем строить и. В формуле Кирхгофа нужно проинтегрировать сфере радиуса с центром в точке разделить результат на и затем взять производную по t. Легко видеть, что будет гладкой функцией от при тех для которых сфера радиуса с центром в точке не касается поверхности Г, а пересекает или вообще не задевает её. Поэтому разрывы могут быть лишь там, где описанная сфера касается Г. При малых t это множество («волновой фронт») есть в точности множество тех точек которые лежат на расстоянии от Г.

Волновой фронт при малых t можно построить так: провести все нормали к поверхности Г («лучи») и отложить на них в обе стороны. Легко видеть, что на построенном так волновом фронте действительно имеется разрыв первого рода функции и. При больших t нормали начинают касаться, пересекаться и т.д. Возникает огибающая семейства лучей, называемая каустикой. Особенность решения на каустике имеет уже более сложную структуру и мы не будем этого касаться.

Уже на этом примере видно, как в теории волн возникают объекты геометрической оптики. В дальнейшем мы рассмотрим этот вопрос более подробно.