§ 4. Обобщённые функции
4.1. Мотивировка определения. Пространства основных функций
В анализе и математической физике часто встречаются затруднения, связанные с недифференцируемостью тех или иных функций. Теория обобщённых функций позволяет освободиться от этих затруднений. Кроме того, в её рамках содержится упоминавшаяся выше и возникающая естественным образом
-функция Дирака. Ряд понятий и теорем анализа в теории обобщённых функций приобретает большую простоту и освобождается от противоестественных ограничений, не связанных с существом дела.
Происхождение понятия обобщённой функции можно объяснить следующим образом. Пусть имеется физическая величина
являющаяся функцией от точки
(например, температура, давление и т. п.). Если мы хотим измерить эту величину в точке
воспользовавшись каким-нибудь прибором (термометром, манометром и т. п.), то реально мы измеряем некоторое среднее значение
, взятое по некоторой окрестности точки
— какой-то интеграл вида
где
— функция характеризующая измерительный прибор и «размазанная» где-то по окрестности точки
. Возникает идея: не рассматривать вообще функцию
, а рассматривать вместо неё линейный функционал, сопоставляющий каждой пробной функции
число
Рассматривая теперь произвольные линейные функционалы (не обязательно вида (4.1)), мы приходим к понятию обобщённой функции.
Введём теперь нужные нам пространства пробных или, как говорят, основных функций
. Пусть
— открытое подмножество в
. Введём обозначения:
— пространство бесконечно дифференцируемых функций в
;
— пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в
, т. е. таких функций
что существует такой компакт
, что
.
Вообще носителем функции
называется замыкание (в
) множества таких
, что
. Носитель
обозначается
. Таким образом
представляет собой наименьшее замкнутое множество
, для которого
то же самое, дополнение к наибольшему открытому множеству
, которого
.
Пространство
состоит тем самым в точности из тех
для
которых
представляет собой компакт в
.
Вообще, если К — компакт в
то введём ещё обозначение:
— пространство таких функций
что
.
Ясно, что
является объединением всех
по компактам К СИ.
Наконец, мы будем использовать в качестве пространства пробных функций также
— пространство Л. Шварца, состоящее из таких функций
, что
для любых мультииндексов
и
Необходимо ввести топологию в пространствах основных функций. Это делается с помощью систем полунорм. Дадим вначале общие определения.
Полунормой на линейном пространстве Е называется отображение
, обладающее следующими свойствами:
При этом из условия
не обязательно вытекает, что
(если это так, то полунорма называется нормой).
Пусть на Е задана система полунорм где J — некоторое
множество индексов. Положим для любого
и введём на Е топологию, в которой базис окрестностей нуля состоит из всех конечных пересечений множеств вида
, а базис окрестностей любой другой точки
получается сдвигом на
т. е. состоит из конечных пересечений множеств вида
Таким образом, множество G С Е является открытым тогда и только тогда, когда вместе с каждой точкой
ему принадлежит некоторое конечное пересечение множеств вида
Ясно, что условие
равносильно тому, что
для любого
.
Чтобы избежать постоянного упоминания о конечных пересечениях, можно считать, что для любых
найдётся такое
, что
и
при любом
(и этом случае
). Если указанное условие не выполнено, то можно присоединить к системе полунорм полунормы вида
что не меняет топологии, определяемой полунормами в Е. Мы будем считать всегда, что это уже сделано.
Таким образом, мы будем считать, что базис окрестностей нуля в Е состоит из всех множеств вида
. Если
— линейный функционал на Е, то условие его непрерывности равносильно существованию таких
, что
где через
обозначено значение функционала
на элементе
.
В самом деле, непрерывность
равносильна существованию такого множества
что
при
, а это равносильно выполнению (4.3) с постоянной
Мы будем предполагать обычно выполнение следующего условия отделимости:
Отсюда вытекает, что любые две различные точки
имеют непересекающиеся окрестности («хаусдорфовость» топологии). В самом деле, тогда существует такое
, что
. Но тогда окрестности
не пересекаются при
поскольку если бы оказалось, что
, то мы получили бы, что
Рассмотрим теперь наиболее важный случай, когда множество J счётно. Тогда J можно считать множеством натуральных чисел, и на Е можно ввести метрику, полагая
Легко проверяются симметричность и неравенство треугольника. Равенство
вытекает из условия
благодаря требованию отделимости (4.4). Легко показать также, что определяемая метрикой топология совпадает с топологией, определённой выше с помощью полунорм. Поскольку метрика (4.5) инвариантна относительно сдвига (т.е.
)
для доказательства последнего факта достаточно проверить, что каждое множество
содержит некоторый шар
радиуса
с центром в точке 0 и наоборот — всякий шар
содержит множество вида
Пусть вначале дано
Проверим существование таких j,
, что
. Если j таково, что
то мы имеем
Поэтому если
, то
. Обратно, пусть даны j и
. Существование такого
что
вытекает из очевидного неравенства
А именно, нужно взять
так, что
. Тогда ввиду монотонности функций
при
из условия
будет вытекать, что
.
Определение 4.1. Счётно-нормированным пространством называется векторное пространство, снабженное счётным числом полунорм, причём выполнено условие отделимости.
Мы видели, что топологию в счётно-нормированном пространстве Е можно задавать метрикой р(х, у), инвариантной относительно сдвигов. В частности, непрерывность функций на Е и вообще любых отображений Е в метрическое пространство можно задавать на языке последовательностей. Например, линейный функционал
на Е непрерывен тогда и только тогда, когда из условия
вытекает, что
Определение 4.2. Пространство линейных непрерывных функционалов на Е называется дуальным или сопряжённым пространством к Е и обозначается через Е.
Превратим теперь пространства
в счётно-нормированные пространства.
1. Пространство
. Положим
Тогда полунормы
задают на
структуру счётно-нормированного пространства. Ясно, что сходимость в топологии
означает, что если а — любой мультииндекс, то
равномерно на К.
2. Пространство
Пусть
— такая последовательность компактов
, что
и для любой точки
найдется такое I, что точка
входит в компакт
вместе с некоторой своей окрестностью. Например, можно положить
где
— граница
(т.е.
), р — обычное евклидово расстояние в
. Положим
Эти полунормы превращают
в счётно-нормированное пространство. Ясно, что сходимость
(р в топологии
) означает, что если а — любой мультииндекс, то
равномерно на любом компакте
. В частности, отсюда вытекает, что определённая таким образом топология не зависит от выбора системы компактов
описанной выше.
3. Пространство
. Здесь система полунорм имеет вид
а сходимость
в топологии
означает, что если А — любой дифференциальный оператор с полиномиальными коэффициентами на
, то
равномерно на
.