§ 4. Обобщённые функции

4.1. Мотивировка определения. Пространства основных функций

В анализе и математической физике часто встречаются затруднения, связанные с недифференцируемостью тех или иных функций. Теория обобщённых функций позволяет освободиться от этих затруднений. Кроме того, в её рамках содержится упоминавшаяся выше и возникающая естественным образом -функция Дирака. Ряд понятий и теорем анализа в теории обобщённых функций приобретает большую простоту и освобождается от противоестественных ограничений, не связанных с существом дела.

Происхождение понятия обобщённой функции можно объяснить следующим образом. Пусть имеется физическая величина являющаяся функцией от точки (например, температура, давление и т. п.). Если мы хотим измерить эту величину в точке воспользовавшись каким-нибудь прибором (термометром, манометром и т. п.), то реально мы измеряем некоторое среднее значение , взятое по некоторой окрестности точки — какой-то интеграл вида где — функция характеризующая измерительный прибор и «размазанная» где-то по окрестности точки . Возникает идея: не рассматривать вообще функцию , а рассматривать вместо неё линейный функционал, сопоставляющий каждой пробной функции число

Рассматривая теперь произвольные линейные функционалы (не обязательно вида (4.1)), мы приходим к понятию обобщённой функции.

Введём теперь нужные нам пространства пробных или, как говорят, основных функций . Пусть — открытое подмножество в . Введём обозначения:

— пространство бесконечно дифференцируемых функций в ;

— пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в , т. е. таких функций что существует такой компакт , что .

Вообще носителем функции называется замыкание (в ) множества таких , что . Носитель обозначается . Таким образом представляет собой наименьшее замкнутое множество , для которого то же самое, дополнение к наибольшему открытому множеству , которого .

Пространство состоит тем самым в точности из тех для

которых представляет собой компакт в .

Вообще, если К — компакт в то введём ещё обозначение: — пространство таких функций что .

Ясно, что является объединением всех по компактам К СИ.

Наконец, мы будем использовать в качестве пространства пробных функций также — пространство Л. Шварца, состоящее из таких функций , что для любых мультииндексов и

Необходимо ввести топологию в пространствах основных функций. Это делается с помощью систем полунорм. Дадим вначале общие определения.

Полунормой на линейном пространстве Е называется отображение , обладающее следующими свойствами:

При этом из условия не обязательно вытекает, что (если это так, то полунорма называется нормой).

Пусть на Е задана система полунорм где J — некоторое

множество индексов. Положим для любого

и введём на Е топологию, в которой базис окрестностей нуля состоит из всех конечных пересечений множеств вида , а базис окрестностей любой другой точки получается сдвигом на т. е. состоит из конечных пересечений множеств вида Таким образом, множество G С Е является открытым тогда и только тогда, когда вместе с каждой точкой ему принадлежит некоторое конечное пересечение множеств вида Ясно, что условие равносильно тому, что для любого .

Чтобы избежать постоянного упоминания о конечных пересечениях, можно считать, что для любых найдётся такое , что и

при любом (и этом случае ). Если указанное условие не выполнено, то можно присоединить к системе полунорм полунормы вида

что не меняет топологии, определяемой полунормами в Е. Мы будем считать всегда, что это уже сделано.

Таким образом, мы будем считать, что базис окрестностей нуля в Е состоит из всех множеств вида . Если — линейный функционал на Е, то условие его непрерывности равносильно существованию таких , что

где через обозначено значение функционала на элементе .

В самом деле, непрерывность равносильна существованию такого множества что при , а это равносильно выполнению (4.3) с постоянной

Мы будем предполагать обычно выполнение следующего условия отделимости:

Отсюда вытекает, что любые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности («хаусдорфовость» топологии). В самом деле, тогда существует такое , что . Но тогда окрестности не пересекаются при поскольку если бы оказалось, что , то мы получили бы, что

Рассмотрим теперь наиболее важный случай, когда множество J счётно. Тогда J можно считать множеством натуральных чисел, и на Е можно ввести метрику, полагая

Легко проверяются симметричность и неравенство треугольника. Равенство вытекает из условия благодаря требованию отделимости (4.4). Легко показать также, что определяемая метрикой топология совпадает с топологией, определённой выше с помощью полунорм. Поскольку метрика (4.5) инвариантна относительно сдвига (т.е. ) для доказательства последнего факта достаточно проверить, что каждое множество содержит некоторый шар радиуса с центром в точке 0 и наоборот — всякий шар содержит множество вида Пусть вначале дано Проверим существование таких j, , что . Если j таково, что то мы имеем

Поэтому если , то . Обратно, пусть даны j и . Существование такого что вытекает из очевидного неравенства

А именно, нужно взять так, что . Тогда ввиду монотонности функций при из условия будет вытекать, что .

Определение 4.1. Счётно-нормированным пространством называется векторное пространство, снабженное счётным числом полунорм, причём выполнено условие отделимости.

Мы видели, что топологию в счётно-нормированном пространстве Е можно задавать метрикой р(х, у), инвариантной относительно сдвигов. В частности, непрерывность функций на Е и вообще любых отображений Е в метрическое пространство можно задавать на языке последовательностей. Например, линейный функционал на Е непрерывен тогда и только тогда, когда из условия вытекает, что

Определение 4.2. Пространство линейных непрерывных функционалов на Е называется дуальным или сопряжённым пространством к Е и обозначается через Е.

Превратим теперь пространства в счётно-нормированные пространства.

1. Пространство . Положим

Тогда полунормы задают на структуру счётно-нормированного пространства. Ясно, что сходимость в топологии означает, что если а — любой мультииндекс, то равномерно на К.

2. Пространство Пусть — такая последовательность компактов , что и для любой точки найдется такое I, что точка входит в компакт вместе с некоторой своей окрестностью. Например, можно положить

где — граница (т.е. ), р — обычное евклидово расстояние в . Положим

Эти полунормы превращают в счётно-нормированное пространство. Ясно, что сходимость (р в топологии ) означает, что если а — любой мультииндекс, то равномерно на любом компакте . В частности, отсюда вытекает, что определённая таким образом топология не зависит от выбора системы компактов описанной выше.

3. Пространство . Здесь система полунорм имеет вид

а сходимость в топологии означает, что если А — любой дифференциальный оператор с полиномиальными коэффициентами на , то равномерно на .