1.3. Замена переменной

Пусть дан диффеоморфизм , где — области в Такой диффеоморфизм можно задавать набором функций равных в точке координат там точки

Если , то мы положим , т.е. или . По существу получается из заменой переменных или переходом к координатам от координат .

Напомним, что диффеоморфизм имеет обратное отображение также являющееся диффеоморфизмом. Ясно, что является линейным изоморфизмом причём .

Пусть дан оператор . Определим оператор с помощью коммутативной диаграммы

т.е. . Иными словами,

где Таким образом, оператор по существу является просто записью оператора А в координатах у.

Если А — линейный дифференциальный оператор, то из (1.9) и формулы дифференцирования сложной функции легко проверяется, что также является линейным дифференциальным оператором. Выясним, как связаны главные символы операторов А и

Напомним, что кокасательным вектором или ковектором в точке называется линейный функционал на касательном пространстве к в точке (касательное пространство к в точке мы обозначим через , а кокасательное пространство — множество всех кокасательных векторов в точке — через .

Через обозначим объединение (так называемое кокасательное расслоение). Выбирая в каждом касательном пространстве базис векторов построим в двойственный базис: он состоит из таких функционалов что — символ Кронекера при и при . Примером касательного вектора является вектор скорости кривой . Его координаты в базисе кокасательного вектора является дифференциал или градиент функции это функционал на , значение которого на касательном векторе равно координаты его в базисе равны

Если дан диффеоморфизм , то имеется естественное отображение (дифференциал отображения ):

и двойственное отображение на линейных функционалах

Выбирая в базисы, соответственно, мы получим, что имеет матрицу, называемую матрицей Якоби: , имеет матрицу, транспонированную к матрице . Заметим, что отображения и являются изоморфизмами в каждой точке . Далее, кокасательный вектор в точке удобно задавать, указав , где — набор координат данного вектора в базисе . При изоморфизме .

ковектору соответствует ковектор , где

Теорема 1.3. Главный символ от оператора А принимает на векторе то же значение, что главный символ оператора на соответствующем векторе , т. е.

Иными словами, главный символ является корректно определённой функцией на (не зависящей от выбора криволинейных координат в ).

Доказательство. Кокасательный вектор в точке может быть записан в виде градиента функции в точке . Из леммы 1.1 ясно, что не зависит от выбора координат. Но, с другой стороны, ясно, что эта величина не зависит и от выбора функции с данным дифференциалом в точке . Поэтому главный символ корректно определён на , что и требовалось.