Напомним, что диффеоморфизм
имеет обратное отображение
также являющееся диффеоморфизмом. Ясно, что
является линейным изоморфизмом
причём
.
Пусть дан оператор
. Определим оператор
с помощью коммутативной диаграммы
т.е.
. Иными словами,
где
Таким образом, оператор
по существу является просто записью оператора А в координатах у.
Если А — линейный дифференциальный оператор, то из (1.9) и формулы дифференцирования сложной функции легко проверяется, что
также является линейным дифференциальным оператором. Выясним, как связаны главные символы операторов А и
Напомним, что кокасательным вектором или ковектором в точке
называется линейный функционал на касательном пространстве к
в точке
(касательное пространство к
в точке
мы обозначим через
, а кокасательное пространство — множество всех кокасательных векторов в точке
— через
.
Через
обозначим объединение
(так называемое кокасательное расслоение). Выбирая в каждом касательном пространстве
базис векторов
построим в
двойственный базис: он состоит из таких функционалов
что
— символ Кронекера
при
и
при
. Примером касательного вектора является вектор скорости кривой
. Его координаты в базисе
кокасательного вектора является дифференциал или градиент функции
это функционал на
, значение которого на касательном векторе
равно координаты его в базисе
равны
Если дан диффеоморфизм
, то имеется естественное отображение (дифференциал отображения
):
и двойственное отображение на линейных функционалах
Выбирая в
базисы, соответственно,
мы получим, что
имеет матрицу, называемую матрицей Якоби:
, имеет матрицу, транспонированную к матрице
. Заметим, что отображения
и
являются изоморфизмами в каждой точке
. Далее, кокасательный вектор в точке
удобно задавать, указав
, где
— набор координат данного вектора в базисе
. При изоморфизме
.
ковектору
соответствует ковектор
, где
Теорема 1.3. Главный символ от оператора А принимает на векторе
то же значение, что главный символ
оператора
на соответствующем векторе
, т. е.
Иными словами, главный символ является корректно определённой функцией на
(не зависящей от выбора криволинейных координат в
).
Доказательство. Кокасательный вектор в точке
может быть записан в виде градиента
функции
в точке
. Из леммы 1.1 ясно, что
не зависит от выбора координат. Но, с другой стороны, ясно, что эта величина не зависит и от выбора функции
с данным дифференциалом в точке
. Поэтому главный символ корректно определён на
, что и требовалось.