7.2. Пространства

Определение 7.6. Пространство — это замыкание (мы считаем, что ).

Таким образом, — это замкнутое подпространство в . Тем самым, оно само является сепарабельным гильбертовым пространством. Ясно, что

Однако уже необязательно совпадает с . В самом деле, если — ограниченная область с гладкой границей, то, как говорилось выше, функция и имеет след .

Ясно, однако, что если и , то . Поэтому, например, если и .

Пространство вкладывается (и притом изометрично) также в . Это вложение продолжает вложение Такое продолжение определено по непрерывности, поскольку норма на эквивалентна норме пространства .

Важный факт представляет собой следующая теорема о компактности вложения.

Теорема 7.7. Пусть — ограниченная область в Тогда вложение является компактным (вполне непрерывным) оператором.

Напомним, что компактность линейного оператора , где — банаховы пространства, означает, что образ единичного шара является предкомпактным подмножеством в . Предкомпактность множества Q, лежащего в метрическом пространстве Е, по определению означает, что его замыкание компактно или, что то же самое, что из любой последовательности точек множества Q можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке пространства Е. Если Е — полное метрическое пространство, то множество предкомпактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено, т. е. для любого имеет конечную -сеть (т. е. такое конечное множество точек , что для любой точки найдётся такой индекс k, что , где р — метрика в Е).

Пусть К — компактное подмножество в К" (компактность К в этом случае равносильна замкнутости и ограниченности). Рассмотрим пространство непрерывных комплекснозначных функций на К. Пусть . Известная теорема Арцела даёт критерий предкомпактности . А именно, множество J предкомпактно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Равномерная ограниченность означает существование такой постоянной что для любой функции . Равностепенная непрерывность означает, что для любого существует такое что из условия , где вытекает, что для любой функции .

Доказательства всех изложенных выше общих фактов о компактности и теоремы Арцела можно найти в любом учебнике функционального анализа — см., например, Колмогоров и Фомин [23, гл. II, § 6 и 7].

Отметим очевидное следствие общих фактов о компактности: если дано множество , где Е — полное метрическое пространство, то для предкомпактности Q достаточно, чтобы для любого существовало такое предкомпактное множество , что Q лежит в -окрестности множества . В самом деле, если взять конечную --сеть множества то она будет -сетью для множества

Доказательство теоремы 7.7. Мы воспользуемся операцией усреднения из § 4 (см. доказательство леммы 4.4). Мы ввели там такое семейство функций что . После этого по функции можно образовать семейство усреднений — функции

В п. 4.2 сформулирован и доказан ряд важных свойств операции усреднения. Мы будем использовать эти свойства,

Отметим теперь, что предкомпактность в множества равносильна предкомпактности в всех множеств где а — мультииндекс, .

Далее, из условия вытекает очевидным образом, что где . Ввиду условия ясно, что все множества принадлежат ограниченному подмножеству в . Поэтому достаточно проверить компактность вложения

Пусть Нужно проверить, что предкомпактно в (или, что то же самое, в ). Идея провяжи такова: мы рассмотрим множество

состоящее из -усреднений всех функции из Затем мы докажем, что при малом множество лежит в сколь угодно малой окрестности множества (по норме ) и что множество при фиксированном предкомпактно в следовательно, предкомпактно в Из замечания, приведённого вьгттте перед началом доказательства, будет вытекать предкомпактность в .

Отметим сразу же, что из определения обобщённых производных легко находим при :

Иными словами, взятие обобщённой производной перестановочно с операцией усреднения. Имеем, очевидно:

(мы воспользовались неравенством Коши-Буняковского). Таким образом, множество при фиксированном равномерно ограничено (на ). Далее, по аналогичной причине производные - равномерно ограничены при и при фиксированном Поэтому множество равностепенно непрерывно. По теореме Арцела множество предкомпактно в (можно считать, что лежит в ), где К — компакт, являющийся окрестностью множества . Тем более предкомпактно в а множество предкомпактно в .

Остаётся проверить, что для любого найдётся такое что лежит в -окрестности множества Для этого оценим норму разности в пространстве (норму в ) будем сейчас обозначать просто Вначале будем считать, что . Имеем:

Далее, отсюда

где Ясно, что так что при . Поскольку условие означает, что то при .

Теперь проверим, что оценка верна при (с теми же и , что и выше) уже без условия Это проверяется по непрерывности. Ясно, что поскольку плотно в то плотно в . В самом деле, если по норме то откуда следует, что если то Но тогда по норме и в

то же время ясно, что , так что . Теперь воспользуемся оценкой

доказываемой очевидной выкладкой:

ИЛИ

Если выбрано так, что то мы имеем и, следовательно,

откуда следует, что лежит в -окрестности множества что и требовалось. Теорема 7.7 доказана.

На компактном многообразии (без края) М можно доказать компактность вложения при любых , если . Вложение же не является компактным ни при каких s и