Ясно, однако, что если и
, то
. Поэтому, например, если и
.
Пространство
вкладывается (и притом изометрично) также в
. Это вложение продолжает вложение
Такое продолжение определено по непрерывности, поскольку норма
на
эквивалентна норме пространства
.
Важный факт представляет собой следующая теорема о компактности вложения.
Теорема 7.7. Пусть
— ограниченная область в
Тогда вложение
является компактным (вполне непрерывным) оператором.
Напомним, что компактность линейного оператора
, где
— банаховы пространства, означает, что образ единичного шара
является предкомпактным подмножеством в
. Предкомпактность множества Q, лежащего в метрическом пространстве Е, по определению означает, что его замыкание компактно или, что то же самое, что из любой последовательности точек множества Q можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке пространства Е. Если Е — полное метрическое пространство, то множество
предкомпактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено, т. е. для любого
имеет конечную
-сеть (т. е. такое конечное множество точек
, что для любой точки
найдётся такой индекс k, что
, где р — метрика в Е).
Пусть К — компактное подмножество в К" (компактность К в этом случае равносильна замкнутости и ограниченности). Рассмотрим пространство
непрерывных комплекснозначных функций на К. Пусть
. Известная теорема Арцела даёт критерий предкомпактности
. А именно, множество J предкомпактно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Равномерная ограниченность означает существование такой постоянной
что
для любой функции
. Равностепенная непрерывность означает, что для любого
существует такое
что из условия
, где
вытекает, что
для любой функции
.
Доказательства всех изложенных выше общих фактов о компактности и теоремы Арцела можно найти в любом учебнике функционального анализа — см., например, Колмогоров и Фомин [23, гл. II, § 6 и 7].
Отметим очевидное следствие общих фактов о компактности: если дано множество
, где Е — полное метрическое пространство, то для предкомпактности Q достаточно, чтобы для любого
существовало такое предкомпактное множество
, что Q лежит в
-окрестности множества
. В самом деле, если взять конечную -
-сеть множества
то она будет
-сетью для множества
Доказательство теоремы 7.7. Мы воспользуемся операцией усреднения из § 4 (см. доказательство леммы 4.4). Мы ввели там такое семейство функций
что
. После этого по функции
можно образовать семейство усреднений — функции
В п. 4.2 сформулирован и доказан ряд важных свойств операции усреднения. Мы будем использовать эти свойства,
Отметим теперь, что предкомпактность в
множества
равносильна предкомпактности в
всех множеств
где а — мультииндекс,
.
Далее, из условия
вытекает очевидным образом, что
где
. Ввиду условия
ясно, что все множества
принадлежат ограниченному подмножеству в
. Поэтому достаточно проверить компактность вложения
Пусть
Нужно проверить, что
предкомпактно в
(или, что то же самое, в
). Идея провяжи такова: мы рассмотрим множество
состоящее из
-усреднений всех функции из
Затем мы докажем, что при малом
множество
лежит в сколь угодно малой окрестности множества
(по норме
) и что множество
при фиксированном
предкомпактно в
следовательно, предкомпактно в
Из замечания, приведённого вьгттте перед началом доказательства, будет вытекать предкомпактность
в
.
Отметим сразу же, что из определения обобщённых производных легко находим при
:
Иными словами, взятие обобщённой производной перестановочно с операцией усреднения. Имеем, очевидно:
(мы воспользовались неравенством Коши-Буняковского). Таким образом, множество при фиксированном
равномерно ограничено (на
). Далее, по аналогичной причине производные - равномерно ограничены при
и при фиксированном
Поэтому множество
равностепенно непрерывно. По теореме Арцела множество предкомпактно в
(можно считать, что
лежит в
), где К — компакт, являющийся окрестностью множества
. Тем более
предкомпактно в
а множество
предкомпактно в
.
Остаётся проверить, что для любого
найдётся такое
что
лежит в
-окрестности множества
Для этого оценим норму разности
в пространстве
(норму в
) будем сейчас обозначать просто
Вначале будем считать, что
. Имеем:
Далее, отсюда
где
Ясно, что
так что
при
. Поскольку условие
означает, что
то
при
.
Теперь проверим, что оценка
верна при
(с теми же
и
, что и выше) уже без условия
Это проверяется по непрерывности. Ясно, что поскольку
плотно в
то
плотно в
. В самом деле, если
по норме
то
откуда следует, что если
то
Но тогда
по норме
и в
то же время ясно, что
, так что
. Теперь воспользуемся оценкой
доказываемой очевидной выкладкой:
ИЛИ
Если
выбрано так, что
то мы имеем
и, следовательно,
откуда следует, что
лежит в
-окрестности множества
что и требовалось. Теорема 7.7 доказана.
На компактном многообразии (без края) М можно доказать компактность вложения
при любых
, если
. Вложение же
не является компактным ни при каких s и