Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 8.4. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца и аналитичность собственных функции оператора Лапласа во внутренних точках области. Уравнение БесселяМы хотим доказать аналитичность собственных функции оператора Лапласа внутри области. Поскольку собственные значения положительны, то достаточно доказать аналитичность любого решения и
называемого уравнением Гельмгольца. Мы найдём явно фундаментальное решение оператора Гельмгольца Учитывая, что оператор
(см. вычисление Например, если окажется, что мы нашли такое решение
то дословное повторение проверки того, что Мы сведём (8.20) к так называемому уравнению Бесселя. Это можно сделать даже для значительно более общего уравнения
где
Здесь три члена из четырёх составляют оператор Эйлера
примененный
Имеем:
и после подстановки в уравнение (8.22) и деления на
Мы можем распорядиться параметром
Из (8.25) легко получить, что при
Точнее, пусть, например,
Это можно доказать, перейдя к интегральному уравнению аналогично тому, как мы это делали при нахождении асимптотики собственных функций и собственных значений оператора Штурма-Лиувилля. А именно, перепишем уравнение (8.25) в виде
и будем искать
В соответствие с методом вариации постоянной для функций
из которых получаем
Мы хотим добиться того, чтобы было
являющееся интегральным уравнением относительно
где Т — интегральный оператор, переводящий
Если
т.е. при
Итак, при любых А и В уравнение (8.25) имеет решение с асимптотикой (8.28). В частности, имеются решения
откуда видно, что если Вернёмся к уравнению (8.24) и теперь выберем параметр
Положим ещё
(здесь вещественную переменную Уравнение (8.31) называется уравнением Бесселя, а его решения называются цилиндрическими функциями. Цилиндрические функции возникают при нахождении собственных функций для оператора Лапласа в круге, а также при решении задачи Дирихле в круговом цилиндре конечной или бесконечной высоты (отсюда термин «цилиндрические функции»). Ликвидируя, как мы делали выше,
Кстати, подставляя все параметры, мы видим, что уравнение (8.24) в нашем случае (при
откуда видно, что при
В частности, мы можем явно решить при
Фундаментальное решение получится, если
а функция
Вернёмся к рассмотрению общего уравнения (8.31). Нам важно как-то описать поведение его решений при Пока будем искать решения
Подставляя этот ряд в уравнение (8.31) и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях
или
Мы можем без ущерба для общности считать, что
Если
Положим
Соответствующий ряд при
Ясно, что этот ряд сходится при всех комплексных значениях Все выкладки имеют смысл и при целом или полуцелом Таким образом, уравнение Бесселя (8.31) при Вернёмся к уравнению Гельмгольца. Мы видели, что уравнение (8.20) сводится к уравнению Бесселя. В самом деле, оно имеет вид (8.22) с
откуда
Это решение на самом деле не имеет никаких особенностей (оно разлагается в ряд по степеням
Если Его можно также выразить через Отметим, впрочем, что имеется общая теорема, гарантирующая аналитичность любого решения эллиптического уравнения с аналитическими коэффициентами. Решения эллиптического уравнения с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами бесконечно дифференцируемы.
|
1 |
Оглавление
|