8.4. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца и аналитичность собственных функции оператора Лапласа во внутренних точках области. Уравнение Бесселя

Мы хотим доказать аналитичность собственных функции оператора Лапласа внутри области. Поскольку собственные значения положительны, то достаточно доказать аналитичность любого решения и уравнения

называемого уравнением Гельмгольца. Мы найдём явно фундаментальное решение оператора Гельмгольца Обозначим это фундаментальное решение через . Если окажется, что аналитично при , то любое решение и уравнения (8.19) будет аналитично в (см. § 5, теорема 5.9).

Учитывая, что оператор перестановочен с поворотами, естественно искать сферически симметричное фундаментальное решение. Пусть где при . Тогда при удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

(см. вычисление в § 4, пример 4.10). Ясно, что для получения фундаментального решения надо найти решение имеющее при ту же особенность, что и фундаментальное решение оператора Лапласа.

Например, если окажется, что мы нашли такое решение уравнения (8.20), что

то дословное повторение проверки того, что , приводит к тому, что .

Мы сведём (8.20) к так называемому уравнению Бесселя. Это можно сделать даже для значительно более общего уравнения

где — произвольные вещественные (или даже комплексные) постоянные. Уравнение (8.22) можно записать в виде

Здесь три члена из четырёх составляют оператор Эйлера

примененный . Но оператор Эйлера перестановочен с гомотетиями прямой и имеет функции при любом . С своими собственными функциями (замена переменной переводит оператор Эйлера в оператор, перестановочный со сдвигами по t, т. е. в оператор с постоянными коэффициентами). Поэтому естественно сделать в (8.22) следующую замену неизвестной функции

Имеем:

и после подстановки в уравнение (8.22) и деления на мы получаем для уравнение

Мы можем распорядиться параметром по своему усмотрению. Первое, что приходит в голову — взять чтобы исчезло . Тогда мы получим уравнение вида

Из (8.25) легко получить, что при решения этого уравнения при ведут себя так же, как решения уравнения

Точнее, пусть, например, (нам наиболее важен этот случай). Тогда существуют решения уравнения (8.25), имеющие при асимптотики:

Это можно доказать, перейдя к интегральному уравнению аналогично тому, как мы это делали при нахождении асимптотики собственных функций и собственных значений оператора Штурма-Лиувилля. А именно, перепишем уравнение (8.25) в виде

и будем искать в виде

В соответствие с методом вариации постоянной для функций получаются уравнения

из которых получаем

Мы хотим добиться того, чтобы было при . Но тогда естественно взять и написать для выражение

являющееся интегральным уравнением относительно Перепишем его в виде

где Т — интегральный оператор, переводящий в последнее слагаемое в (8.27). Рассмотрим это уравнение в пространстве ограниченных непрерывных функций на , где . Пусть . Тогда ясно, что

Если достаточно велико, то и интегральное уравнение (8.27) разрешимо. Но его непрерывные ограниченные решения являются решениями уравнения (8.25), причём если — такое решение, то

т.е. при

(8.28)

Итак, при любых А и В уравнение (8.25) имеет решение с асимптотикой (8.28). В частности, имеются решения с асимптотиками (8.26). Ясно, что они линейно независимы. Асимптотику (8.28) можно также записать в виде

откуда видно, что если вещественно (это так, например, если все используемые постоянные вещественны), то решение имеет бесконечно много нулей, ведущих себя при приблизительно так же, как нули функции .

Вернёмся к уравнению (8.24) и теперь выберем параметр так, чтобы получилось . Тогда мы получим для уравнение вида

Положим ещё или . Вводя в качестве нового независимого переменного, мы получим вместо (8.30) уравнение для функции :

(здесь вещественную переменную не надо путать с ранее использовавшимся ).

Уравнение (8.31) называется уравнением Бесселя, а его решения называются цилиндрическими функциями.

Цилиндрические функции возникают при нахождении собственных функций для оператора Лапласа в круге, а также при решении задачи Дирихле в круговом цилиндре конечной или бесконечной высоты (отсюда термин «цилиндрические функции»).

Ликвидируя, как мы делали выше, в уравнении (8.31), мы видим, что любая цилиндрическая функция имеет при асимптотику

Кстати, подставляя все параметры, мы видим, что уравнение (8.24) в нашем случае (при ) имеет вид

откуда видно, что при уравнение Бесселя явно решается и решения имеют вид, совпадающий с первым членом в (8.32), т.е.

В частности, мы можем явно решить при уравнение (8.20), возникающее из уравнения Гельмгольца. А именно, беря , мы получим, что уравнение (8.24) приобретает вид , откуда ясно, что при сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца имеют вид

Фундаментальное решение получится, если в частности, фундаментальными решениями являются функции

а функция является решением однородного уравнения

Вернёмся к рассмотрению общего уравнения (8.31). Нам важно как-то описать поведение его решений при . Но для этого лучше всего попытаться искать решения в виде ряда по степеням при член играет более важную роль, чем 1, то можно ожидать, что ведёт себя в нуле как решение уравнения Эйлера, получаемого из (8.31), если убрать 1 из коэффициента при . Но решения уравнения Эйлера имеют вид линейных комбинаций функций и, быть может, при подходящем выборе а. В нашем случае мы получим подстановкой в уравнение Эйлера, что Таким образом, естественно ожидать, что можно найти пару решений уравнения (8.31), ведущих себя при как . Однако это оказывается верно с некоторой поправкой.

Пока будем искать решения уравнения (8.31) в виде

Подставляя этот ряд в уравнение (8.31) и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях мы получим:

или

Мы можем без ущерба для общности считать, что (при можно заменить на , где k — номер первого ненулевого коэффициента а к и затем изменить обозначения коэффициентов). Но тогда из (8.34) следует, что . Если v не является ни целым, ни полуцелым, то из уравнений (8.35) и (8.36), мы находим тогда

Если , то отсюда получается

Положим . Тогда воспользовавпшсь тождеством , получаем

Соответствующий ряд при обозначается и называется функцией Бесселя или цилиндрической функцией 1-го рода. Таким образом

Ясно, что этот ряд сходится при всех комплексных значениях .

Все выкладки имеют смысл и при целом или полуцелом если 0 (мы можем предполагать это без ущерба для общности, так как в уравнение входит ). При можно по непрерывности написать ряд (8.37), поскольку не имеет нулей, а имеет лишь полюса и притом лишь в точках .

Таким образом, уравнение Бесселя (8.31) при и всегда имеет решение имеющее вид , где — целая аналитическая функция от , причём . Мы не будем искать второе решение (в тех случаях, когда оно ещё не найдено) и не будем исследовать другие свойства цилиндрических функций. Отметим лишь, что в справочниках и книгах по специальным функциям свойства цилиндрических функций обсуждаются с той же подробностью, с какой свойства тригонометрических функций обсуждаются в учебниках тригонометрии. Составлены таблицы цилиндрических функций. Это же относится ко многим другим специальным функциям. Многие из них являются, как и цилиндрические функции, решениями некоторых линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Вернёмся к уравнению Гельмгольца. Мы видели, что уравнение (8.20) сводится к уравнению Бесселя. В самом деле, оно имеет вид (8.22) с . Перейдём к уравнению (8.24) и возьмём . Тогда мы получим уравнение (8.30), в котором

откуда . Поэтому, в частности, имеется решение уравнения (8.20), имеющее вид

Это решение на самом деле не имеет никаких особенностей (оно разлагается в ряд по степеням ). Можно рассмотреть решение

Если нечётно, то из этой функции умножением на постоянную можно получить фундаментальное решение для оператора Гельмгольца (на самом деле, это элементарная функция). Если чётно, то надо наряду с использовать второе решение уравнения Бесселя (оно называется цилиндрической функцией 2-го рода или функцией Неймана и содержит в разложении при ).

Его можно также выразить через квадратурой с помощью известного приёма (например, теорема Лиувилля даёт для второго решения линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка). В любом случае, мы видим, что имеется фундаментальное решение аналитическое по при . Отсюда все собственные функции оператора Лапласа аналитичны во внутренних точках области.

Отметим, впрочем, что имеется общая теорема, гарантирующая аналитичность любого решения эллиптического уравнения с аналитическими коэффициентами. Решения эллиптического уравнения с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами бесконечно дифференцируемы.