4.6. Общее понятие транспонированного оператора. Замена переменных. Однородные обобщённые функции
Операции дифференцирования и умножения на гладкую функцию являются частными случаями следующей общей конструкции. Пусть
— две области в
задан какой-то оператор
и существует такой оператор
, что
если
. Оператор
называется транспонированным к оператору L. Предположим, что для любого компакта
найдётся такой компакт
, что
и отображение
непрерывно. Тогда формула (4.70) позволяет продолжить оператор L до оператора
.
Если
и оператор
продолжается до непрерывного оператора
то ясно, что оператор L задаёт отображение
Отметим, что оператор L, построенный с помощью этой конструкции, всегда слабо непрерывен. Это очевидно из формулы (4.70), поскольку
— это полунорма общего вида для
— некоторая полунорма для
.
Примеры транспонированных операторов: а) если
, то
; б) если
(оператор умножения на функцию
)
, то
. В частности, операторы
непрерывны на
в слабой топологии. Оператор
, кроме того, непрерывен на
.
Приведём новые примеры. Пусть дан диффеоморфизм
. Он обычным образом определяет отображение
, а именно
. Ясно, что той же формулой можно определить отображение
. Кроме того,
переводит
. Мы хотим продолжить
до линейного непрерывного оператора
Для этого найдём транспонированный оператор. Пусть
. Тогда
где
— отображение, обратное к
якобиан.
Теперь ясно, что транспонированный оператор имеет вид:
Поскольку
ясно, что
отображает
в
причём он задаёт непрерывное отображение
. Поэтому по общей схеме определено непрерывное отображение
. Если
и отображение
является аффинным преобразованием (или хотя бы совпадает с аффинным преобразованием вне некоторого компакта), то
непрерывно отображает
(в этом случае
), так что задано непрерьшное отображение
.
Примеры, а) Оператор сдвига
, где
продолжается до линейного непрерывного оператора из
и из
. В частности, ранее употреблявшееся обозначение
согласуется с определением сдвига на
б) Оператор гомотетии
где
определён на
и отображает
Вычислим, например,
. Имеем:
Итак,
Определение 4.11. Обобщенная функция
называется однородной порядка
, если
На самом деле легко проверить, что требование
можно заменить включением
(из (4.75) тогда автоматически вытекает, что
.
Примеры.
1. Если
и при любом
почти всюду по
выполнено (4.75), то
однородна порядка
как обобщённая функция.
2.
-функция
однородна порядка
.
Легко проверяется, что
.
Поэтому, если
однородна порядка
, то однородна порядка
. Например,
однородна порядка
.
Соображения однородности позволяют без вычислений понять, как устроено фундаментальное решение оператора Лапласа и его степеней. А именно, обобщённая функция
при
имеет порядок однородности
и при
удовлетворяет уравнению
. Поэтому
сосредоточена в нуле и имеет порядок однородности
. Но поскольку порядок однородности
равен
, то ясно, что
. При
имеем
при
и производные
однородны порядка —1. Поэтому
сосредоточена в нуле и имеет порядок однородности —2, так что
.
Неясно заранее, почему не может оказаться, что
Мы увидим в дальнейшем, однако, что если и
и
(и даже более того: и вещественно-аналитична в
). Поскольку
имеет особенность в нуле, то
, откуда
где
. Аналогично при
имеем
.
Отметим, наконец, что оператор поворота определён в
и это позволяет придать точный смысл рассуждениям об усреднении, на основании которых мы выше сделали вывод о существовании сферически симметричного фундаментального решения для оператора
.
Пример 4.15. Фундаментальные решения для степеней оператора Лапласа.
Из соображений сферической симметрии и однородности ясно, что для нахождения фундаментального решения оператора
в
естественно рассмотреть функцию
. Тогда мы получим, что
.
Может ли быть
? Оказывается, что если
(т.е.
не является чётным неотрицательным числом), или, что то же самое,
, то мы получим, что
и, значит,
, где
. В самом деле, при
имеем при любом
Поэтому
и при последовательном применении
к
мы будем получать множитель вида
затем
—
и т. д., откуда следует, что
при
.
Поэтому при
фундаментальное решение
оператора
имеет вид
Далее, пусть
так что
— многочлен от
Тогда нужно рассмотреть функцию
. Тогда получим
(постоянная
зависит от
), где
. Рассмотрим для определённости случай
. Заметим, что
а
, так что
поскольку
— многочлен от
степени
. Здесь
, потому что
а уравнение
не имеет решений с особенностями (если бы оказалось, что
, то при некотором к мы получили бы, что
имеет особенность в точке 0 и удовлетворяет уравнению
).
Впрочем, постоянную
можно легко вычислить непосредственно. Таким образом, при
имеем: