4.6. Общее понятие транспонированного оператора. Замена переменных. Однородные обобщённые функции

Операции дифференцирования и умножения на гладкую функцию являются частными случаями следующей общей конструкции. Пусть — две области в задан какой-то оператор и существует такой оператор , что

если . Оператор называется транспонированным к оператору L. Предположим, что для любого компакта найдётся такой компакт , что и отображение непрерывно. Тогда формула (4.70) позволяет продолжить оператор L до оператора .

Если и оператор продолжается до непрерывного оператора то ясно, что оператор L задаёт отображение

Отметим, что оператор L, построенный с помощью этой конструкции, всегда слабо непрерывен. Это очевидно из формулы (4.70), поскольку — это полунорма общего вида для — некоторая полунорма для .

Примеры транспонированных операторов: а) если , то ; б) если (оператор умножения на функцию ) , то . В частности, операторы непрерывны на в слабой топологии. Оператор , кроме того, непрерывен на .

Приведём новые примеры. Пусть дан диффеоморфизм . Он обычным образом определяет отображение , а именно . Ясно, что той же формулой можно определить отображение . Кроме того, переводит . Мы хотим продолжить до линейного непрерывного оператора

Для этого найдём транспонированный оператор. Пусть . Тогда

где — отображение, обратное к якобиан.

Теперь ясно, что транспонированный оператор имеет вид:

Поскольку ясно, что отображает в причём он задаёт непрерывное отображение . Поэтому по общей схеме определено непрерывное отображение . Если и отображение является аффинным преобразованием (или хотя бы совпадает с аффинным преобразованием вне некоторого компакта), то непрерывно отображает (в этом случае ), так что задано непрерьшное отображение .

Примеры, а) Оператор сдвига , где продолжается до линейного непрерывного оператора из и из . В частности, ранее употреблявшееся обозначение согласуется с определением сдвига на

б) Оператор гомотетии где определён на и отображает Вычислим, например, . Имеем:

Итак,

Определение 4.11. Обобщенная функция называется однородной порядка , если

На самом деле легко проверить, что требование можно заменить включением (из (4.75) тогда автоматически вытекает, что .

Примеры.

1. Если и при любом почти всюду по выполнено (4.75), то однородна порядка как обобщённая функция.

2. -функция однородна порядка .

Легко проверяется, что .

Поэтому, если однородна порядка , то однородна порядка . Например, однородна порядка .

Соображения однородности позволяют без вычислений понять, как устроено фундаментальное решение оператора Лапласа и его степеней. А именно, обобщённая функция при имеет порядок однородности и при удовлетворяет уравнению . Поэтому сосредоточена в нуле и имеет порядок однородности . Но поскольку порядок однородности равен , то ясно, что . При имеем при и производные однородны порядка —1. Поэтому сосредоточена в нуле и имеет порядок однородности —2, так что .

Неясно заранее, почему не может оказаться, что Мы увидим в дальнейшем, однако, что если и и (и даже более того: и вещественно-аналитична в ). Поскольку имеет особенность в нуле, то , откуда где . Аналогично при имеем .

Отметим, наконец, что оператор поворота определён в и это позволяет придать точный смысл рассуждениям об усреднении, на основании которых мы выше сделали вывод о существовании сферически симметричного фундаментального решения для оператора .

Пример 4.15. Фундаментальные решения для степеней оператора Лапласа.

Из соображений сферической симметрии и однородности ясно, что для нахождения фундаментального решения оператора в естественно рассмотреть функцию . Тогда мы получим, что .

Может ли быть ? Оказывается, что если (т.е. не является чётным неотрицательным числом), или, что то же самое, , то мы получим, что и, значит, , где . В самом деле, при имеем при любом

Поэтому

и при последовательном применении к мы будем получать множитель вида затем — и т. д., откуда следует, что при .

Поэтому при фундаментальное решение оператора имеет вид

Далее, пусть так что — многочлен от Тогда нужно рассмотреть функцию . Тогда получим

(постоянная зависит от ), где . Рассмотрим для определённости случай . Заметим, что

а , так что

поскольку — многочлен от степени . Здесь , потому что а уравнение не имеет решений с особенностями (если бы оказалось, что , то при некотором к мы получили бы, что имеет особенность в точке 0 и удовлетворяет уравнению ).

Впрочем, постоянную можно легко вычислить непосредственно. Таким образом, при имеем: