Лекции об уравнениях математической физики

Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2003. — 303 с.

В книге изложено почти без изменений содержание годового курса лекций по уравнениям математической физики, прочитанных автором на экспериментальном потоке механико-математического факультета МГУ. По сравнению с имеющимися математическими курсами акцент делается на связи и взаимодействия с геометрией и физикой, а также на физическую интерпретацию результатов. Книга содержит элементы теории основных уравнений математической физики, изложенные на основе функционального анализа и теории обобщённых функций. В частности, в книге дано нетрадиционное изложение простейших аспектов теории потенциала, а также обсуждаются коротковолновые асимптотики решений гиперболических уравнений, связывающие волновую оптику с геометрической.

В конце каждого параграфа книги имеются задачи, помогающие усвоению материала и дополняющие основное содержание книги. Для студентов, аспирантов, научных работников — математиков и физиков.

Предисловие
§ 1. Линейные дифференциальные операторы
1.2. Полный и главный символы
1.3. Замена переменной
1.4. Приведение к каноническому виду операторов 2-го порядка с постоянными коэффициентами
1.5. Характеристики. Эллиптичность и гиперболичность
1.6. Характеристики и приведение к каноническому виду операторов и уравнении 2-го порядка при n = 2
1.7. Общее решение однородного гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами при n = 2
§ 2. Одномерное волновое уравнение
2.1. Уравнение колебании струны
2.2. Неограниченная струна. Задача Каши. Формула Даламбера
2.3. Полуограниченная струна. Отражение волн от конца струны
2.4. Ограниченная струна. Стоячие волны. Метод Фурье (метод разделения переменных)
Задачи
§ 3. Задача Штурма-Лиувилля
3.2. Простейшие свойства собственных значении и собственных функций
3.3. Коротковолновая асимптотика
3.4. Функция Грина и полнота системы собственных функций
Задачи
§ 4. Обобщённые функции
4.1. Мотивировка определения. Пространства основных функций
4.2. Пространства обобщённых функции
4.3. Топология и сходимость в пространствах обобщённых функций
4.4. Носитель обобщённой функции
4.5. Дифференцирование обобщённых функции и их умножение на гладкую функцию
4.6. Общее понятие транспонированного оператора. Замена переменных. Однородные обобщённые функции
Задачи
§ 5. Свёртка и преобразование Фурье
5.1. Свёртка и прямое произведение обычных функций
5.2. Прямое произведение обобщённых функций
5.3. Свёртка обобщённых функций
5.4. Дальнейшие свойства свертки. Носитель и носитель сингулярности свёртки
5.5. Связь между свойствами гладкости фундаментального решения и решений однородного уравнения
5.6. Решения с изолированными особенностями. Теорема об устранимой особенности для гармонических функций
5.7. Преобразование Фурье обобщённых функций умеренного роста
5.8. Схема применения преобразования Фурье для нахождения фундаментальных решении
5.9. Теорема Лиувилля
Задачи
§ 6. Уравнение теплопроводности
6.1. Физический смысл уравнения теплопроводности
6.2. Простейшие краевые задачи для уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа
6.3. Пример обоснования гармоничности предельной функции
6.4. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона
6.5. Фундаментальное решение для оператора теплопроводности. Формула Дюамеля
6.6. Оценка производных решения гипоэллиптического уравнения
6.7. Принцип Хольмгрена. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности
6.8. Схема решения первой и второй краевых задач методом Фурье
Задачи
§ 7. Пространства Соболева. Обобщённое решение задачи Дирихле
7.2. Пространства
7.3. Интеграл Дирихле. Неравенство Фридрихса
7.4. Задача Дирихле (обобщённое решение)
Задачи
§ 8. Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа
8.1. Симметрические и самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве
8.2. Расширение по Фридрихсу
8.3. Дискретность спектра оператора Лапласа в ограниченной области
8.4. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца и аналитичность собственных функции оператора Лапласа во внутренних точках области. Уравнение Бесселя
8.5. Вариационные принципы. Поведение собственных значений при изменении области. Оценки собственных значений
Задачи
§ 9. Волновое уравнение
9.1. Физические задачи, приводящие к волновому уравнению
9.2. Плоские, сферические и цилиндрические волны
9.3. Волновое уравнение как гамильтонова система
9.4. Сферическая волна от мгновение» вспышки и решение задачи Коши для трехмерного волнового уравнения
9.5. Фундаментальное решение трёхмерного волнового оператора и решение неоднородного волнового уравнения
9.6. Двумерное волновое уравнение (метод спуска)
Задачи
§ 10. Свойства потенциалов и их вычисление
10.2. Функции, гладкие вплоть до Г с каждой стороны, и их производные
10.3. Скачки потенциалов
10.4. Вычисление потенциалов
Задачи
§ 11. Волновые фронты и коротковолновое приближение для гиперболических уравнений
11.1. Характеристики, как поверхности разрывов
11.2. Уравнение Гамильтона – Якоби. Волновые франты, бихарактеристики и лучи
11.3. Характеристики гиперболического уравнения
11.4. Быстро осциллирующие решения. Уравнение эйконала и уравнения переноса
11.5. Задача Коши с быстро осциллирующими начальными данными
Задачи
Ответы и указания
Список литературы

Лекции об уравнениях математической физики

Оглавление