Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 10.4. Вычисление потенциаловМы приведем здесь простейшие примеры явного вычисления потенциалов. Такое вычисление в рассматриваемых примерах становится возможным с помощью следующих средств: а) соображения симметрии; б) уравнение Пуассона, которому удовлетворяют потенциалы; в) теоремы о скачках; г) асимптотика на бесконечности. Как правило, из рассмотрения всех этих аспектов мы получаем даже избыточную информацию, позволяющую проверить результат. Пример 10.1. Потенциал равномерно заряженной сферы. Пусть Г — сфера радиуса R в Прежде всего, из соображений симметрии ясно, что
Здесь А, В, С, D — вещественные постоянные, которые нам необходимо определить. Прежде всего, Для определения трёх оставшихся постоянных нужны ещё три условия на и. Их можно получить многими способами. Укажем простейшие из этих способов. 1°. Непрерывность
2°. Из определения Отсюда 3°. Рассмотрим интеграл, определяющий
Отсюда ясно, что Из
Это значит, что вне сферы потенциал такой же, как если бы весь заряд был сосредоточен в центре. Таким образом, однородная сфера притягивает находящиеся вне её заряды так, как если бы весь её заряд был помещен в центре. Этот факт впервые был доказан Ньютоном, рассматривавшим гравитационные силы (Ньютон доказывал эту теорему иначе: с помощью непосредственного рассмотрения интеграла, дающего силу притяжения). Укажем ещё другие соображения, которые могли быть использованы для получения уравнений на А, С, D. Теперь мы можем использовать их для проверки результата. 4°. Скачок нормальной производной потенциала и на сфере должен быть равен что согласуется с найдённым значением D. 5°. Значение потенциала
что согласуется с найденным значением Пользуясь полученным результатом, можно сразу найти притяжение (и потенциал) равномерно заряженного шара, суммируя потенциалы (или притяжения) сферических слоев, составляющих шар. В частности, шар притягивает находящийся вне его заряд так, как если бы весь заряд шара был сосредоточен в его центре. Пример 10.2. Потенциал двойного слоя сферы. Рассматривается сфера радиуса R, по которой равномерно распределены диполи с плотностью дипольного момента Потенциал двойного слоя здесь — интеграл (10.5), где
Вычислим этот потенциал. Это можно сделать теми же средствами, что и в предыдущем примере. Однако можно сразу увидеть, что Пример 10.3. Потенциал равномерно заряженной плоскости. Определим и вычислим потенциал равномерно заряженной плоскости, с поверхностной плотностью зарядов Мы укажем два из них. Первый состоит в том, чтобы сохранить основное уравнение
и наибольшее возможное количество свойств симметрии потенциала (физики часто определяют величину из соображений симметрии, не задумываясь о том, чем заменить первоначальное определение). Если бы интеграл (10.4) в нашем случае сходился, то было бы выполнено уравнение (10.19) и следующие свойства симметрии: а) и не меняется при сдвигах вдоль нашей плоскости, т.е. б) и инвариантно при симметрии относительно выбранной плоскости, т.е. Теперь попробуем вычислить функцию Из уравнения (10.19) ясно, что функция
Уравнение (10.19) означает, кроме того, выполнение теоремы о скачках, т. е. непрерывность и на Г (отсюда
Мы закончили вычисление u. Вспомним теперь, что наша основная цель — вычислить Укажем ещё два эквивалентных способа определения потенциала u. Во-первых, можно найти Е по закону Кулона (Е задаётся, как легко сообразить, сходящимся интегралом!) и затем определить и из соотношения Поскольку свойства симметрии, очевидно, выполнены, а уравнение Наконец, третий способ аккуратно определить u — перенормировка заряда в интеграле, задающем потенциал. Мы подробно комментировали этот способ при нахождении потенциала нити в § 4. Поэтому теперь мы не будем на нём останавливаться, предоставляя читателю восполнить подробности в качестве упражнения.
|
1 |
Оглавление
|