10.4. Вычисление потенциалов

Мы приведем здесь простейшие примеры явного вычисления потенциалов. Такое вычисление в рассматриваемых примерах становится возможным с помощью следующих средств:

а) соображения симметрии;

б) уравнение Пуассона, которому удовлетворяют потенциалы;

в) теоремы о скачках;

г) асимптотика на бесконечности.

Как правило, из рассмотрения всех этих аспектов мы получаем даже избыточную информацию, позволяющую проверить результат.

Пример 10.1. Потенциал равномерно заряженной сферы. Пусть Г — сфера радиуса R в с центром в точке 0. Пусть по сфере равномерно (с поверхностной плотностью ) распределён заряд. Обозначим через Q полный заряд сферы, т.е. . Найдём потенциал сферы и её поле. Обозначим искомый потенциал через и.

Прежде всего, из соображений симметрии ясно, что где , т.е. и зависит лишь от расстояния до центра сферы. Теперь воспользуемся тем, что вне Г потенциал и является гармонической функцией. Поскольку любая сферически симметричная гармоническая функция имеет вид , то

Здесь А, В, С, D — вещественные постоянные, которые нам необходимо определить. Прежде всего, , поскольку функция и гармонична в окрестности нуля. Отсюда, в частности, при откуда следует, что при т.е. внутри равномерно заряженной сферы поле отсутствует.

Для определения трёх оставшихся постоянных нужны ещё три условия на и. Их можно получить многими способами. Укажем простейшие из этих способов.

1°. Непрерывность на Г даёт соотношение

2°. Из определения в виде интеграла ясно, что при

Отсюда

3°. Рассмотрим интеграл, определяющий чуть более детально. Имеем:

Отсюда ясно, что .

Из находим . Итак,

Это значит, что вне сферы потенциал такой же, как если бы весь заряд был сосредоточен в центре. Таким образом, однородная сфера притягивает находящиеся вне её заряды так, как если бы весь её заряд был помещен в центре. Этот факт впервые был доказан Ньютоном, рассматривавшим гравитационные силы (Ньютон доказывал эту теорему иначе: с помощью непосредственного рассмотрения интеграла, дающего силу притяжения).

Укажем ещё другие соображения, которые могли быть использованы для получения уравнений на А, С, D. Теперь мы можем использовать их для проверки результата.

4°. Скачок нормальной производной потенциала и на сфере должен быть равен , т.е. или .

что согласуется с найдённым значением D.

5°. Значение потенциала в центре сферы равно

что согласуется с найденным значением .

Пользуясь полученным результатом, можно сразу найти притяжение (и потенциал) равномерно заряженного шара, суммируя потенциалы (или притяжения) сферических слоев, составляющих шар. В частности, шар притягивает находящийся вне его заряд так, как если бы весь заряд шара был сосредоточен в его центре.

Пример 10.2. Потенциал двойного слоя сферы. Рассматривается сфера радиуса R, по которой равномерно распределены диполи с плотностью дипольного момента

Потенциал двойного слоя здесь — интеграл (10.5), где

Вычислим этот потенциал. Это можно сделать теми же средствами, что и в предыдущем примере. Однако можно сразу увидеть, что при поскольку потенциал является пределом потенциалов простых слоев пары концентрических сфер, равномерно заряженных противоположными по знаку, но равными по величине зарядами. При выполнении предельного перехода эти сферы сближаются, а заряды растут обратно пропорционально расстоянию между сферами. Уже до перехода к пределу потенциал этой пары сфер равен 0 вне наибольшей из них. Поэтому при . Ясно также, что при и из теоремы о скачке находим (если выбрана внешняя нормаль), что при

Пример 10.3. Потенциал равномерно заряженной плоскости. Определим и вычислим потенциал равномерно заряженной плоскости, с поверхностной плотностью зарядов . Пусть плоскость имеет в уравнение Заметим, что пользоваться определением потенциала как интеграла (10.4) уже нельзя (интеграл расходится). Поэтому необходимо вначале дать новое определение потенциала. Это можно сделать несколькими способами.

Мы укажем два из них. Первый состоит в том, чтобы сохранить основное уравнение

(10.19)

и наибольшее возможное количество свойств симметрии потенциала (физики часто определяют величину из соображений симметрии, не задумываясь о том, чем заменить первоначальное определение). Если бы интеграл (10.4) в нашем случае сходился, то было бы выполнено уравнение (10.19) и следующие свойства симметрии:

а) и не меняется при сдвигах вдоль нашей плоскости, т.е. ;

б) и инвариантно при симметрии относительно выбранной плоскости, т.е. .

Теперь попробуем вычислить функцию пользуясь уравнением (10.19) и выписанными свойствами симметрии. При этом окажется, что с точностью до постоянной она однозначно определена. Поэтому можно ввести определение потенциала плоскости, состоящее в том, что это должна быть обобщённая функция и, удовлетворяющая (10.19), а) и б).

Из уравнения (10.19) ясно, что функция линейна по отдельно при и при т. е.

Уравнение (10.19) означает, кроме того, выполнение теоремы о скачках, т. е. непрерывность и на Г (отсюда и тот факт, что скачок производной на Г равен (отсюда Наконец, чётность (условие ) даёт ещё раз и, кроме того, . Отсюда находим и

Мы закончили вычисление u.

Вспомним теперь, что наша основная цель — вычислить . Мы видим, что поле Е направлено всюду перпендикулярно плоскости и если считать положительным направление от плоскости, то величина поля равна

Укажем ещё два эквивалентных способа определения потенциала u. Во-первых, можно найти Е по закону Кулона (Е задаётся, как легко сообразить, сходящимся интегралом!) и затем определить и из соотношения .

Поскольку свойства симметрии, очевидно, выполнены, а уравнение приводит к уравнению (10.19) на потенциал, мы можем применить тот же способ вычисления и. Тем самым, мы явно вычислили напряжённость Е, задаваемую довольно сложным интегралом.

Наконец, третий способ аккуратно определить u — перенормировка заряда в интеграле, задающем потенциал. Мы подробно комментировали этот способ при нахождении потенциала нити в § 4. Поэтому теперь мы не будем на нём останавливаться, предоставляя читателю восполнить подробности в качестве упражнения.