11.2. Уравнение Гамильтона - Якоби. Волновые франты, бихарактеристики и лучи

Уравнением Гамильтона - Якоби обычно называют уравнение вида

(11.15)

где — вещественнозначная функция переменных — неизвестная (тоже вещественнозначная) функция, — её градиент. Уравнение Гамильтона - Якоби играет важную роль в механике и физике.

Напомним кратко способ интегрирования уравнения (11.15), точнее, связь этого уравнения с обыкновенными дифференциальными уравнениями, известную из курсов механики и обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, Арнольд [2-2]).

Рассмотрим гамильтонову систему

где

Решения этой системы (кривые ), называются бихарактеристиками (или, точнее, бихарактеристиками функции ), сама функция часто называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. Про систему (11.16) говорят, что это гамильтонова система с гамильтонианом Н. Векторное поле в М, определяющее систему (11.16), называется гамилыпоновым полем с гамильтонианом Н. Можно показать, что гамильтоново поле корректно определено на .

Это значит, что если считать кокасательным вектором, записанным в системе координат, соответствующей заданной системе координат в (т.е. считать координатами кокасательного вектора по базису — см. § 1), то вид системы (11.16) будет тот же самый при любом выборе криволинейных координат в . В курсах механики даётся инвариантное определение гамильтонова поля на , из которого сразу следует сформулированное выше утверждение, но нам это сейчас не понадобится, как и само утверждение об инвариантности, указанное для полноты картины.

Имеет место

Предложение 11.2. Гамильтониан является первым интегралом системы (11.16), т. е. вдоль любой бихарактеристики .

Доказательство. Доказательство. Имеем:

что и требовалось.

В частности, важны нулевые бихарактеристики, т.е. такие бихарактеристики, для которых Как показывает предыдущее замечание, достаточно, чтобы было для какого-нибудь .

Рассмотрим теперь график градиента функции т. е. -мерное подмногообразие в К вида , где . Сформулируем основное утверждение, необходимое для интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби.

Предложение 11.3. Если S — решение уравнения Гамильтона-Якоби (11.15), то гамильтоново поле касается подмногообразия в его точках.

Доказательство. Утверждение означает, что если — бихарактеристика, причем , то

Короче:

Но

где — матрица вторых производных, т.е. . С другой стороны так что мы должны доказать, что

Но это сразу получается дифференцированием по уравнения Гамильтона-Якоби (11.15).

Из предложения 11.3 сразу вытекает

Теорема 11.4. Многообразие инвариантно относительно гамильтонова потока (т. е. относительно сдвига по бихарактеристикам).

Это значит, что если — бихарактеристика, определённая при при некотором , то при всех .

Пользуясь теоремой 11.4, можно строить многообразие если оно известно над подмногообразием М коразмерности 1 в Если же над М известно и S, то простым интегрированием по строится и S (заметим, впрочем, что если найдено, то S восстанавливается по значению в одной точке). Следует, однако, отметить, что все эти задачи легко исследуются локально; глобально же построить S удаётся редко. Чаще удаётся построить продолжение уже не являющееся графиком градиента (так называемое лагранжево многообразие), что тоже достаточно для решения большинства задач математической физики (с отсутствием однозначного проектирования лагранжева многообразия на связано появление каустик). Однако подробное исследование этих вопросов выходит за рамки настоящих лекций.

Укажем как строится (локально) функция , если она сама и её градиент известны над начальным многообразием М коразмерности 1 в Если бихарактеристика начинается в точке , где , а кончается в точке , то ясно, что

(11.17)

Назовем лучами проекции нулевых бихарактеристик над . Будем рассматривать лишь нулевые бихарактеристики, начинающиеся над М в точках вида где .

Возьмём два луча соответствующие таким бихарактеристикам. Они могут пересечься в какой-то точке и тогда формула (11.17) даст в точке два, вообще говоря, различных значения для По этой причине задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби (определение S по значениям ) редко бывает разрешима глобально. Однако локально задача Коши часто бывает разрешима. Для локальной её разрешимости достаточно, например, чтобы лучи: описанного типа, начинающиеся в точках М, шли в начальный момент трансвер сально М. В этом случае мы можем рассмотреть отображение которое паре , ставит в соответствие точку луча, начинающегося в точке (т.е. ) и являющегося проекцией бихарактеристики для которой . Отображение по теореме о неявной функции будет задавать диффеоморфизм множества (где U — малая окрестность точки в М, а достаточно мало) на открытое подмножество в тогда и только тогда, когда вектор не касается М (это условие необходимо и достаточно для того, чтобы дифференциал отображения был изоморфизмом ). В этом случае лучи локально не пересекаются и задача Коши локально разрешима.

Итак, сформулируем точно задачу Коши. Дано подмногообразие и функция Пусть в дано подмногообразие которое при естественном проектировании на даёт график градиента и лежит на нулевой поверхности уровня функции Задача Коши состоит тогда в нахождении функции S, для которой совпадает с заданным над М подмногообразием (которое мы так и обозначили). Если во всех точках М выполнено описанное выше условие трансверсальности, то задача Коши имеет решение в окрестности М.

Поверхности уровня функции S называются обычно волновыми фронтами. Мы увидим ниже, почему употребление этого термина здесь не противоречит его употреблению в примере 11.2.

Пример 11.4. Рассмотрим уравнение Гамильтона-Якоби вида

(11.18)

Функция Гамильтона в этом случае имеет вид

Уравнения бихарактеристик имеют вид

откуда сами бихарактеристики имеют вид

В частности, все лучи прямые (причём, это могут быть прямые любого направления). Если такой луч является проекцией бихарактеристики, лежащей на графике градиента решения (в силу теоремы 11.4 это означает, что ), то вдоль всего луча мы будем иметь

откуда луч ортогонален всем волновым фронтам , которые он пересекает.

Отметим, что в общем случае лучи не обязательно ортогональны волновым фронтам.

Одним из решений уравнения (11.18) является функция . Её линии уровня , т. е. волновые фронты, совпадают с волновыми фронтами из примера 11.2. Лучи в данном случае — прямые линии, также совпадающие с лучами, о которых говорилось в примере

Рассмотрим ещё следующий частный случай уравнения Гамильтона-Якоби:

где .

Это уравнение является уравнением Гамильтона-Якоби в с гамильтонианом

Гамильтонова система, определяющая бихарактеристики имеет вид

(точка означает производную по параметру ). Из этой системы видно, что — бихарактеристика гамильтониана Поскольку сдвиг параметра на бихарактеристике ничего не меняет, мы можем считать, что т.е. и понимать и как функции от t. Далее, если нас интересуют нулевые бихарактеристики, то мы можем произвольно задать тогда то однозначно определено: Таким образом, произвольные бихарактеристики гамильтониана находятся во взаимно однозначном соответствии с нулевыми бихарактеристиками для , начинающимися при

Лучи, соответствующие описанным нулевым бихарактеристикам, имеют вид . В частности, они трансверсальны всем плоскостям .

Для уравнения (11.19) можно поставить задачу Коши, задав начальное условие

(11.20)

Из этого условия следует, что из уравнения находится Поэтому график градиента функции известен над плоскостью Поскольку лучи идут в начальный момент трансверсально М, то можно продолжить и определить а затем и над окрестностью М.

А именно, мы должны положить в соответствии с формулой (11.17)

где — такая бихарактеристика гамильтониана , что , т.е. точки их соединены лучом (точка разумеется, должна быть выбрана так, что исходящий из неё луч попадает в точку ); кроме того,

(это означает, что соответствующая бихарактеристика гамильтониана ) лежит на . Итак, мы имеем

(11.21)

где интеграл от формы берётся вдоль такой траектории гамильтоновой системы с гамильтонианом А, что её проекция соединяет . Вместо (11.21) можно также написать

(11.21)

где называется лагранжианом, соответствующим гамильтониану А, а интеграл опять берётся вдоль траектории. Формулы (11.21) и (11.21) показывают, что функция S аналогична функции действия классической механики (переменная играет роль импульса). Таким образом, волновые фронты являются поверхностями уровня функции действия.

Мы не будем углубляться дальше в теорию уравнения Гамильтона-Якоби и её связи с механикой и геометрической оптикой. Подробности можно найти в учебниках механики (см., например, Арнольд [2-2]). Отметим, в частности, что мы дали здесь доказательство единственности решения задачи Коши и способ его конструкции, но не проверили существования решения, т.е. того, что изложенная конструкция действительно даёт решение. Это действительно так в той области, где рассмотренная выше система лучей, начинающихся при диффеоморфма системе параллельных отрезков (в частности, это верно в малой окрестности плоскости ), но мы опустим проверку этого несложного факта.

Сделаем ещё одно замечание об уравнении Гамильтона-Якоби вида (11.19). Предположим, что нас интересует не само решение, а лишь волновые фронты

где с — постоянная. Зафиксируем одно значение постоянной и будем рассматривать систему поверхностей

которые лежат в и зависят от как от параметра. Если где-то — , то можно (локально) решить уравнение — с относительно и записать эту систему поверхностей в виде

т. е. в виде поверхностей уровня функции S. Как написать уравнение на ? Из тождества

дифференцированием по находим:

Подставляя значение в уравнение (11.19), получим

(11.22)

Рассмотрим часто встречающийся и наиболее важный для уравнений с частными производными случай, когда имеет 1-й порядок однородности по т. е.

Мы можем считать, что (иначе заменим S на —S, что не изменит волновых фронтов). Вынося сокращая на него, мы получим из уравнения (11.22):

(11.23)

К тому же результату мы пришли бы, считая просто, что

(11.24)

Тогда уравнение (11.23) сразу получается и без требования однородности функции Роль однородности состоит в том, что в предположении однородности уравнение (11.19) на самом деле является лишь уравнением на направление вектора нормали к волновым фронтам и никак не зависит от параметризации волновых фронтов и величины вектора нормали.

Итак, если считать, что имеет вид (11.24) или, что однородна по порядка 1, то волновые фронты задаются уравнением , где — уже решение уравнения Гамильтона-Якоби (11.23), не содержащего времени t.