3.2. Простейшие свойства собственных значении и собственных функций

Мы будем использовать следующую доказываемую в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений осцилляционную теорему Штурма.

Теорема 3.1. Пусть даны два уравнения

причём . Далее, пусть — решения этих уравнений, определенные на причём . Тогда либо на интервале найдётся такая точка что либо на , где С — постоянная.

Доказательство. Мы можем, очевидно, предположить, что а и b — соседние нули функции z, а также, что при . Тогда Если не обращается в 0 на , то мы можем предположить, что на .

Рассмотрим определитель Вронского . Дифференцируя его, мы получаем

Интегрируя по , получаем — причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда на .

С другой стороны, из сделанных нами предположений вытекает, что , а тогда

с равенством тогда и только тогда, когда .

Сопоставляя полученные неравенства, мы видим, что при наших предположениях откуда . Поскольку решения должны быть пропорциональны, т.е. , где С — постоянная.

Введём оператор Штурма-Лиувилля , являющийся неограниченным оператором в , считая областью определения этого оператора множество состоящее из таких функций , что . Задача Штурма-Лиувилля состоит в нахождении собственных значений и собственных векторов этого оператора.

Оператор L симметричен, т. е.

где скобки означают скалярное произведение в . В самом деле,

Отсюда вытекает, что все собственные значения вещественны, а собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны в .

Далее, все собственные значения простые, т.е. все собственные подпространства одномерны, поскольку любые два решения уравнения равные 0 в какой-нибудь точке пропорциональны друг другу (и каждое по теореме единственности пропорционально решению, удовлетворяющему начальным условиям .

Из условия и теоремы Штурма вытекает, что все собственные значения положительны. В самом деле, сравним уравнение с уравнением . Если дана собственная функция с собственным значением , то по теореме Штурма всякое решение уравнения должно обратиться в 0 в какой-то точке отрезка . Но если 0, то среди решений уравнения всегда есть решение нигде не равное нулю. Далее, рассмотрим при решение которое обращается в 0 на отрезке ещё хотя бы в одной точке этого отрезка, кроме 0, в точности при . Отсюда ясно, что всякое собственное значение оператора L удовлетворяет неравенству

В дальнейшем положим для удобства так что основное уравнение принимает вид

Обозначим через решение уравнения (3.12) с начальными условиями

(если , то ). Мы будем считать всегда, что . Собственные значения оператора Штурма-Лиувилля L имеют вид , где k таково, что . Из теоремы Штурма вытекает, что количество нулей функции , лежащих на любом фиксированном отрезке [0, а], где а является неубывающей функцией k. Поэтому с ростом к все нули функции двигаются влево. Собственные значения соответствуют тем значениям k, при которых в точке I появляется новый нуль. Поскольку количество этих нулей конечно при любом k, то отсюда вытекает, что собственные значения образуют дискретную последовательность

которая либо конечна, либо стремится к бесконечности. При этом собственная функция соответствующая собственному значению имеет ровно нулей на интервале .

Легко понять, что на самом деле число собственных значений бесконечно. В самом деле, из теоремы Штурма вытекает, что число нулей функций на не меньше, чем число нулей на для соответствующего решения уравнения , где .

Но это решение равно и число его нулей на неограниченно растет при . Итак, доказана

Теорема 3.2. Собственные значения положительны, однократны и образуют последовательность

стремящуюся к . Собственные функции соответствующие собственным значениям ортогональны. Собственная функция имеет ровно нулей на интервале .