Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3.2. Простейшие свойства собственных значении и собственных функцийМы будем использовать следующую доказываемую в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений осцилляционную теорему Штурма. Теорема 3.1. Пусть даны два уравнения
причём Доказательство. Мы можем, очевидно, предположить, что а и b — соседние нули функции z, а также, что Рассмотрим определитель Вронского
Интегрируя по С другой стороны, из сделанных нами предположений вытекает, что
с равенством тогда и только тогда, когда Сопоставляя полученные неравенства, мы видим, что при наших предположениях Введём оператор Штурма-Лиувилля Оператор L симметричен, т. е.
где скобки
Отсюда вытекает, что все собственные значения вещественны, а собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны в Далее, все собственные значения простые, т.е. все собственные подпространства одномерны, поскольку любые два решения уравнения Из условия
В дальнейшем положим для удобства
Обозначим через
(если
которая либо конечна, либо стремится к бесконечности. При этом собственная функция Легко понять, что на самом деле число собственных значений бесконечно. В самом деле, из теоремы Штурма вытекает, что число нулей функций Но это решение равно Теорема 3.2. Собственные значения положительны, однократны и образуют последовательность
стремящуюся к
|
1 |
Оглавление
|