3.4. Функция Грина и полнота системы собственных функций

Рассмотрим оператор Штурма-Лиувилля как оператор, отображающий его область определения

в пространство . Мы увидим, что при этот оператор обратим, причём обратный оператор записывается в виде интегрального оператора

где . Функция называется функцией Грина оператора L. Вообще если оператор записан в виде правой части (3.27), то G(x, у) называют его ядром (в смысле Л. Шварца). Таким образом, оператор имеет непрерывное ядро (в смысле Л. Шварца), равное . Ясно, что функция однозначно определена равенством (3.27).

Для нахождения мы должны решить уравнение

с граничными условиями

Это делается с помощью вариации постоянных. При этом удобно использовать два решения однородного уравнения

удовлетворяющих граничным условиям

Ясно, что решения линейно независимы, поскольку 0 не является собственным значением L ввиду условия Теперь пишем

и составляем обычные уравнения

Определитель этой системы линейных уравнений относительно — это определитель Вронского

Известно (и легко проверяется дифференцированием что , причём равенство равносильно линейной зависимости решений . Таким образом, в нашем случае

Решая систему (3.34), (3.35) по правилу Крамера, получаем

Но учитывая граничные условия (3.29) для функции v и граничные условия (3.31), (3.32) для функций , мы видим, что нужно выбрать так, чтобы было

Отсюда получаем

Таким образом, функция v существует, единственна и дается формулой:

которая может быть записана в виде

если функцию определить формулой

где — функция Хевисайда при при . Отметим, что функция непрерывна и симметрична, т. е.

Последнее можно увидеть и без явного вычисления, поскольку оператор должен быть симметричен ввиду симметричности L, а симметричность оператора равносильна симметрии функции Грина .

Рассмотрим теперь в оператор G с ядром :

Это симметричный вполне непрерывный оператор. По теореме Гильберта он имеет полную ортогональную систему собственных функций с вещественными собственными значениями (здесь ), причём при Имеем:

Если бы функции оказались непрерывны, то применяя к обеим частям (3.41) оператор L, мы получили бы

откуда — собственное значение оператора L. Непрерывность легко проверяется из (3.41) при условии, что . Вообще, если , то , поскольку

а функция равномерно непрерывна на . Остаётся показать, что оператор G не может иметь в нулевого собственного значения. Но если и , то и ортогонально к образу оператора G, поскольку тогда

В то же время в виде заведомо можно представить все функции поскольку тогда по построению оператора G. Но плотно в , поэтому из (3.42) вытекает, что .

Итак, собственные функции оператора G в точности совпадают с собственными функциями оператора L. В частности, мы доказали полноту системы собственных функций оператора L в .

Отметим ещё следующие свойства функции Грина, легко проверяемые с помощью формулы (3.38): имеет непрерывные производные до порядка включительно при удовлетворяет по уравнению (также при ). Здесь ;

б) функция непрерывна всюду, а её производная при имеет разрыв 1-го рода, причём скачок равен —1:

в) выполнены граничные условия

Эти свойства можно использовать для нахождения G без вариации постоянной. Легко проверить, что однозначно определена этими условиями.

Условия а) и б) можно легко записать с использованием -функции Дирака. Аккуратно мы сделаем это позже, а сейчас проведём эвристическое рассуждение (на «физическом» уровне строгости). Удобно сразу использовать формулу (3.27), записывающую оператор через ядро. Применим формально к обеим частям этой формулы оператор L и введём обозначение:

Получим тогда

Отсюда ясно, что функция должна быть равна 0 при в то же время

По причине трансляционной инвариантности (из (3.44) вытекает, что ясно, что должна зависеть лишь от , так что напишем . Тогда мы получаем, что функция должна быть равна 0 при и в то же время

Конечно, не существует локально интегрируемой функции, обладающей этим свойством, однако удобно использовать символ если он входит лишь под знаком интеграла, имея в виду, что

«Функция» называется -функцией Дирака. Она находит своё место в общей теории обобщённых функций и понимается там как линейный функционал на гладких функциях, сопоставляющий значение функции Существует интерпретация её как точечной нагрузки. А именно, если на неоднородную струну действует распределённая сила то после затухания колебаний (например, вследствие трения), мы получим, что установившаяся форма струны должна удовлетворять условиям (3.28), (3.29) и, следовательно, выражается формулой (3.37). Если вся нагрузка сосредоточена вблизи точки причём суммарная нагрузка равна 1, т.е. то форма струны будет в точности Этому утверждению уже легко придать точный смысл, переходя к пределу, когда берётся так называемая -образная последовательность нагрузок (например, такая, что ) при . Мы опускаем детали, которые читатель легко восстановит самостоятельно.