Задачи

4-1. Найти где при

4-2. Найти где при ,

4-3. Найти

4-4. Доказать, что если то . Найти пределы

4-6. Рассмотрим каноническую проекцию . Она индуцирует изоморфизм где — множество всех гладких -периодических функций на М. Доказать, что этот изоморфизм продолжается по непрерывности до изоморфизма

где — множество всех -периодических обобщённых функций.

4-7. Доказать, что ряд Фурье сходится в тогда и только тогда, когда существуют такие постоянные С и N, что . При этом если — сумма этого ряда, то где скобки означают естественную двойственность между .

4-8. Доказать, что всякая обобщённая -периодическая функция (или, что то же самое, обобщённая функция на ) является суммой своего ряда Фурье.

4-9. Разложить в ряд Фурье -функцию на или, что то же самое, обобщённую функцию

4-10. Использовать результат предыдущей задачи для доказательства следующей формулы суммирования Пуассона:

где — преобразование Фурье функции Найти все такие и , что

4-12. Проверить, что функция , где является фундаментальным решением оператора Гельмгольца .