11.3. Характеристики гиперболического уравнения
Пока мы не обсуждали вопрос о существовании характеристик. Ясно, что эллиптический оператор не имеет характеристик. Мы увидим сейчас, что гиперболический оператор имеет достаточно много характеристик.
Пусть дан оператор
(11.25)
где
-мерный мультииндекс,
— некоторая область в
Напомним, что значит гиперболичность оператора А относительно выделенной переменной t (см. § 1). Рассмотрим главный символ
Тогда гиперболичность означает, что уравнение
(11.27)
рассматриваемое как уравнение относительно
, при любых
имеет ровно m действительных (и притом различных) корней. Обозначим эти корни
Ясно, что
является многочленом степени m по
, а из гиперболичности вытекает, что его старший коэффициент (коэффициент при
) не обращается в
при
(этот коэффициент не зависит от
в силу формулы
). Поскольку корни этого многочлена простые, то в этих корнях мы имеем:
По теореме о неявной функции в окрестности
можно разрешить уравнение (11.27) относительно
и считать
гладкой функцией от
локально по
т.е. в достаточно малой окрестности любой фиксированной точки
Далее, ясно, что в силу однородности
, т. е. тождества
набор корней
совпадает с набором чисел
Мы можем выбрать поэтому функции
при
, а затем продолжить их по однородности, считая, что
(11.29)
Таким образом, мы всегда можем считать, что функции
определены в конической по
области, т. е. области, содержащей любую точку вида
при
вместе с любой точкой
при
. Мы будем всегда предполагать это в дальнейшем вместе с гладкостью функций
. Таким образом, функции
являются гладкими вещественнозначными и однородными первого порядка по
. Предположим, что поверхность
является характеристикой. Тогда вектор
на
поверхности удовлетворяет уравнению (11.27). Но тогда ясно, что локально мы должны иметь при некотором
(опять на поверхности
. В частности, мы можем в качестве S взять любое решение уравнения Гамильтона-Якоби (11.30). Надо только, чтобы поверхность
была неособой, т. е. чтобы было выполнено условие:
при
. Локально такую функцию
можно получить, например, решая задачу Коши для уравнения (11.30) с начальным условием
(11.31)
где
. Например, можно провести характеристику через точку
выбрав
где
На самом деле, беря функцию
произвольной, мы можем найти m характеристик, пересекающихся с плоскостью
по заданной произвольной неособой гиперповерхности в этой плоскости. Это означает, что волновой фронт, заданный при
может распространяться в
различных направлениях.