11.3. Характеристики гиперболического уравнения

Пока мы не обсуждали вопрос о существовании характеристик. Ясно, что эллиптический оператор не имеет характеристик. Мы увидим сейчас, что гиперболический оператор имеет достаточно много характеристик.

Пусть дан оператор

(11.25)

где -мерный мультииндекс, — некоторая область в Напомним, что значит гиперболичность оператора А относительно выделенной переменной t (см. § 1). Рассмотрим главный символ

Тогда гиперболичность означает, что уравнение

(11.27)

рассматриваемое как уравнение относительно , при любых имеет ровно m действительных (и притом различных) корней. Обозначим эти корни Ясно, что является многочленом степени m по , а из гиперболичности вытекает, что его старший коэффициент (коэффициент при ) не обращается в при (этот коэффициент не зависит от в силу формулы ). Поскольку корни этого многочлена простые, то в этих корнях мы имеем:

По теореме о неявной функции в окрестности можно разрешить уравнение (11.27) относительно и считать гладкой функцией от локально по т.е. в достаточно малой окрестности любой фиксированной точки

Далее, ясно, что в силу однородности , т. е. тождества

набор корней совпадает с набором чисел Мы можем выбрать поэтому функции при , а затем продолжить их по однородности, считая, что

(11.29)

Таким образом, мы всегда можем считать, что функции определены в конической по области, т. е. области, содержащей любую точку вида при вместе с любой точкой при . Мы будем всегда предполагать это в дальнейшем вместе с гладкостью функций . Таким образом, функции являются гладкими вещественнозначными и однородными первого порядка по . Предположим, что поверхность

является характеристикой. Тогда вектор на поверхности удовлетворяет уравнению (11.27). Но тогда ясно, что локально мы должны иметь при некотором

(опять на поверхности . В частности, мы можем в качестве S взять любое решение уравнения Гамильтона-Якоби (11.30). Надо только, чтобы поверхность была неособой, т. е. чтобы было выполнено условие: при . Локально такую функцию можно получить, например, решая задачу Коши для уравнения (11.30) с начальным условием

(11.31)

где . Например, можно провести характеристику через точку выбрав

где На самом деле, беря функцию произвольной, мы можем найти m характеристик, пересекающихся с плоскостью по заданной произвольной неособой гиперповерхности в этой плоскости. Это означает, что волновой фронт, заданный при может распространяться в различных направлениях.

Можно проверить, что найденные характеристики, пересекающиеся с плоскостью по данной неособой гиперповерхности, на деле не зависят от произвола в выборе начальной функции если начальная поверхность фиксирована. Мы опустим эту несложную проверку, которую можно провести, например, анализируя описанный выше способ построения решения уравнения Гамильтона-Якоби. В случае такая проверка была сделана в § 1, где мы показали, что через каждую точку проходят ровно две характеристики гиперболического уравнения.