§ 5. Свёртка и преобразование Фурье

5.1. Свёртка и прямое произведение обычных функций

Свёрткой обычных функций и на называют интеграл

который берётся по Конечно, интеграл (5.1) не всегда определён. Мы будем рассматривать его в случае, когда и одна из функций имеет компактный носитель (в этом случае интеграл (5.1) имеет смысл и легко видеть, что Делая в интеграле (5.1) замену переменных мы получим

т. е. свёртка коммутативна:

Далее, пусть Тогда ясно, что (5.1) можно дифференцировать под знаком интеграла, причём мы получаем

Вообще, если или то

при т. Операция свертки ассоциативна, т. е.

если и две из трёх функций имеют компактный носитель. Это можно проверить заменой переменных, однако мы сделаем это чуть ниже другим способом.

Пусть имеет компактный носитель. Тогда интеграл

можно преобразовать, заменяя на у + z, к виду

Отсюда в силу теоремы Фубини очевидна уже доказанная коммутативность свёртки. Далее, отсюда же следует, что

что даёт ассоциативность свёртки.

Отметим, что в (5.5) важную роль играет функция которая называется прямым или тензорным произведением функций f иди обозначается или просто если полезно указать аргументы.

Предположим, что и финитны. Тогда в (5.5) можно положить где Тогда получим:

где волна означает преобразование Фурье:

Таким образом, преобразование Фурье переводит свёртку в обычное произведение.

Посмотрим ещё, как устроен носитель свёртки.

Введём следующее обозначение. Пусть . Положим

(иногда называют арифметической суммой подмножеств А и В). Оказывается, что

В самом деле, из (5.5) видно, что если , то , что и даёт включение (5.8).