можно преобразовать, заменяя
на у + z, к виду
Отсюда в силу теоремы Фубини очевидна уже доказанная коммутативность свёртки. Далее, отсюда же следует, что
что даёт ассоциативность свёртки.
Отметим, что в (5.5) важную роль играет функция
которая называется прямым или тензорным произведением функций f иди обозначается
или просто
если полезно указать аргументы.
Предположим, что
и
финитны. Тогда в (5.5) можно положить
где
Тогда получим:
где волна означает преобразование Фурье:
Таким образом, преобразование Фурье переводит свёртку в обычное произведение.
Посмотрим ещё, как устроен носитель свёртки.
Введём следующее обозначение. Пусть
. Положим
(иногда
называют арифметической суммой подмножеств А и В). Оказывается, что
В самом деле, из (5.5) видно, что если
, то
, что и даёт включение (5.8).