5.8. Схема применения преобразования Фурье для нахождения фундаментальных решении

Пусть — дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, — его фундаментальное решение, причём Преобразование Фурье удовлетворяет уравнению

Отсюда во всяком случае ясно, что на открытом множестве . Если всюду на , то нужно просто взять вычислить обратное преобразование Фурье. В более сложном случае, когда имеет нули, нужно регуляризовать в окрестности нулей так, чтобы получилась обобщённая функция равная при и удовлетворяющая уравнению (5.55).

Например, при мы могли взять или или вообще где постоянная С произвольна. Вообще нужно придать каким-то образом смысл интегралам вида

так чтобы получилась обобщённая функция с нужными свойствами. Часто это можно сделать, например, с помощью выхода в комплексную область (конструкция обобщённых функций — пример такого выхода). Бывает, что локально суммируема. Тогда опять естественно считать Например, для т.е. при мы можем положить .

Поскольку, как легко проверить, преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье сохраняет сферическую симметричность и переводят однородную обобщённую функцию порядка а в однородную обобщённую функцию порядка , то ясно, что .

Таким образом, здесь мы получаем уже вычисленное фундаментальное решение При функция уже не интегрируема в окрестности нуля. Здесь необходима регуляризация. Например, можно положить

где в окрестности точки 0. При этом можно проверить, что оказывается , где С зависит от выбора