Например, при
мы могли взять
или
или вообще
где постоянная С произвольна. Вообще нужно придать каким-то образом смысл интегралам вида
так чтобы получилась обобщённая функция с нужными свойствами. Часто это можно сделать, например, с помощью выхода в комплексную область (конструкция обобщённых функций — пример такого выхода). Бывает, что
локально суммируема. Тогда опять естественно считать
Например, для
т.е.
при
мы можем положить
.
Поскольку, как легко проверить, преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье сохраняет сферическую симметричность и переводят однородную обобщённую функцию порядка а в однородную обобщённую функцию порядка
, то ясно, что
.
Таким образом, здесь мы получаем уже вычисленное фундаментальное решение
При
функция
уже не интегрируема в окрестности нуля. Здесь необходима регуляризация. Например, можно положить
где
в окрестности точки 0. При этом можно проверить, что оказывается
, где С зависит от выбора