6.8. Схема решения первой и второй краевых задач методом Фурье
Попробуем решить первую краевую задачу с нулевыми граничными условиями
методом Фурье. Если функция
удовлетворяет первым двум условиям в (6.39), то мы получаем
Теперь тем же приёмом, что и для случая
могут быть решены более общие задачи, например:
Для этого вычитанием вспомогательной функции мы добиваемся того, чтобы
, а затем ищем решение u(t, х) в виде ряда
откуда для
получаются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
Единственность решения этих задач может быть выведена с помощью принципа Хольмгрена или получена из принципа максимума: если
— непрерывная в цилиндре
функция, удовлетворяющая на
уравнению теплопроводности, то
Мы не будем доказывать этот физически естественный принцип. Доказательство довольно элементарно и его можно найти, например, в учебниках И. Г. Петровского [43] или В. С. Владимирова [10-1].
В дальнейшем мы дадим доказательство существования полной ортогональной системы собственных функций для задачи (6.41). При этом граничное условие в (6.41) будет пониматься в некотором обобщённом смысле. В аналогичном смысле будет решаться и задача Дирихле. Всё это требует введения пространств Соболева, к теории которых мы сейчас и перейдем.