6.8. Схема решения первой и второй краевых задач методом Фурье

Попробуем решить первую краевую задачу с нулевыми граничными условиями

методом Фурье. Если функция удовлетворяет первым двум условиям в (6.39), то мы получаем

откуда для получается задача на собственные значения для оператора с нулевыми граничными условиями на

При эта задача переходит в рассмотренную нами выше задачу Штурма-Лиувилля (с простейшими граничными условиями — нули на концах отрезка). Ниже мы докажем, что задача (6.41) обладает свойствами, весьма похожими на свойства задачи Штурма-Лиувилля. В частности, она имеет полную ортогональную систему собственных функций с собственными значениями , причём при к

Из (6.40) находим: откуда видно, что естественно искать в виде ряда

Коэффициенты подбираются из начального условия и представляют собой коэффициенты разложения по ортогональной системе

Аналогично решается 2-я краевая задача

Она приводит к задаче на собственные значения

обладающей теми же свойствами, что и задача (6.41), за одним исключением: является собственным значением задачи (6.44).

Теперь тем же приёмом, что и для случая могут быть решены более общие задачи, например:

Для этого вычитанием вспомогательной функции мы добиваемся того, чтобы , а затем ищем решение u(t, х) в виде ряда

откуда для получаются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.

Единственность решения этих задач может быть выведена с помощью принципа Хольмгрена или получена из принципа максимума: если — непрерывная в цилиндре функция, удовлетворяющая на уравнению теплопроводности, то

Мы не будем доказывать этот физически естественный принцип. Доказательство довольно элементарно и его можно найти, например, в учебниках И. Г. Петровского [43] или В. С. Владимирова [10-1].

В дальнейшем мы дадим доказательство существования полной ортогональной системы собственных функций для задачи (6.41). При этом граничное условие в (6.41) будет пониматься в некотором обобщённом смысле. В аналогичном смысле будет решаться и задача Дирихле. Всё это требует введения пространств Соболева, к теории которых мы сейчас и перейдем.