§ 6. Уравнение теплопроводности

6.1. Физический смысл уравнения теплопроводности

Уравнение теплопроводности имеет вид

где — оператор Лапласа по . Это уравнение является примером уравнения параболического типа. Этому уравнению подчиняется температура однородной и изотропной среды (в этом случае — температура среды в точке в момент времени t). Точно также этому уравнению удовлетворяет плотность диффундирующего вещества, например, плотность броуновских частиц в случае, когда частиц достаточно много, так что мы можем говорить об их плотности и об изменении этой плотности как о непрерывном процессе. Поэтому уравнение (6.1) часто называют также уравнением диффузии.

Вывод уравнения теплопроводности для температуры основан на следующих естественных физических гипотезах:

1. Количество тепла Q, необходимое для нагрева куска рассматриваемого вещества массы m от температуры до температуры пропорционально m и

(коэффициент с называется удельной теплоемкостью).

2. Количество тепла передающееся через площадку площади время пропорционально и скорости роста температуры и по направлению нормали п к этой площадке (закон Фурье):

где коэффициент называется коэффициентом теплопроводности и, как и удельная теплоёмкость, характеризует свойства среды; знак минус означает, что тепло передаётся по направлению, противоположному направлению роста температуры.

Следует иметь в виду, что обе гипотезы являются лишь приближениями, как и вытекающее из них уравнение (6.1).

Как мы увидим ниже, из уравнения (6.1) следует, например, что скорость распространения тепла бесконечна, что физически абсурдно. Однако в большинстве технических задач сделанные предположения и уравнение (6.1) в достаточной степени оправданы. Более точная модель теплопередачи должна была бы учитывать молекулярную структуру вещества, что приводит к задачам статистической физики, неизмеримо более сложным, чем решение модельного уравнения (6.1).

Отметим, впрочем, что независимо от физического смысла уравнение (6.1) и аналогичные уравнения играют важную роль в математике. Они используются, например, для изучения эллиптических уравнений.

Приведём вывод уравнения теплопроводности (при ). Используем закон сохранения энергии (в данном случае тепла) в некотором объёме . Будем считать, что П имеет гладкую границу . Скорость изменения тепловой энергии вещества в объёме П равна, очевидно,

где р — объёмная плотность вещества, — элемент объёма в . Считая , мы получим

Пусть теперь Р — скорость истечения тепла через границу . Ясно, что

где внешняя нормаль к — элемент площади . В правой части здесь написан поток вектора через границу . По формуле Гаусса-Остроградского имеем:

или при

Закон сохранения тепловой энергии при отсутствии источников тепла означает, что

Подставляя найденные выше выражения для и Р, получаем

что ввиду произвольности даёт уравнение (6.1), в котором