Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2.2. Неограниченная струна. Задача Каши. Формула ДаламбераНеограниченная струна с физической точки зрения является идеализацией, означающей, что мы рассматриваем внутренний участок струны, считая концы достаточно далёкими, так что на рассматриваемом интервале времени они не влияют на происходящее на данном участке струны. Как мы увидим ниже, рассмотрение неограниченной струны полезно и при изучении полуограниченной струны (являющейся аналогичной идеализацией) и ограниченной струны. Переходя к математическому обсуждению, рассмотрим одномерное волновое уравнение (2.6) при
С физической точки зрения условия (2.18) означают, что заданы начальное положение и начальная скорость струны. Можно ожидать, что по аналогии с конечномерными задачами механики задача Коши здесь будет корректна, т.е. решение существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных Воспользуемся найденным в § 1 общим решением уравнения (2.6):
Записывая условия (2.18), получим систему двух уравнений для определения произвольных функций
Интегрирование второго уравнения даёт
Из (2.20) и (2.22) находим теперь
Поэтому
или
Итак, решение u(t, x) действительно существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных
то
со сколь угодно малым Формула (2.25), задающая решение задачи Коши, называется формулой Даламбера. Сделаем несколько замечаний по поводу её вывода и применений. Во-первых, заметим, что эта формула имеет смысл для любых локально интегрируемых функций Получаемые таким образом функции Во-вторых, из формулы Даламбера ясно, что значение решения в точке
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5 Далее, значения начальных данных Пример 2.1. Нарисуем форму струны в различные моменты времени, если Пусть
видно, что первоначальное возмущение Пунктиром на рис. 5 изображены разбегающиеся полуволны
|
1 |
Оглавление
|