2.2. Неограниченная струна. Задача Каши. Формула Даламбера

Неограниченная струна с физической точки зрения является идеализацией, означающей, что мы рассматриваем внутренний участок струны, считая концы достаточно далёкими, так что на рассматриваемом интервале времени они не влияют на происходящее на данном участке струны. Как мы увидим ниже, рассмотрение неограниченной струны полезно и при изучении полуограниченной струны (являющейся аналогичной идеализацией) и ограниченной струны.

Переходя к математическому обсуждению, рассмотрим одномерное волновое уравнение (2.6) при . Естественной задачей здесь является задача Коши: задача о нахождении решения уравнения (2.6) с начальными условиями

С физической точки зрения условия (2.18) означают, что заданы начальное положение и начальная скорость струны. Можно ожидать, что по аналогии с конечномерными задачами механики задача Коши здесь будет корректна, т.е. решение существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных Как мы увидим сейчас, это действительно так.

Воспользуемся найденным в § 1 общим решением уравнения (2.6):

Записывая условия (2.18), получим систему двух уравнений для определения произвольных функций и :

Интегрирование второго уравнения даёт

Из (2.20) и (2.22) находим теперь

Поэтому

или

Итак, решение u(t, x) действительно существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных при разумном выборе топологий в множестве начальных данных и функций u(t, х). Например, ясно, что если решение построено по начальным данным и при достаточно малом

то

со сколь угодно малым (более точная формулировка: для любых найдётся такое , что из (2.26) следует (2.27)). Таким образом задача Коши корректна.

Формула (2.25), задающая решение задачи Коши, называется формулой Даламбера. Сделаем несколько замечаний по поводу её вывода и применений.

Во-первых, заметим, что эта формула имеет смысл для любых локально интегрируемых функций и , давая обобщённое решение уравнения (2.6). Мы будем здесь рассматривать лишь непрерывные решения. Тогда в качестве можно брать любую непрерывную функцию, а в качестве — любую локально интегрируемую.

Получаемые таким образом функции естественно называть обобщёнными решениями задачи Коши. Мы будем рассматривать обобщённые решения наг равне с обычными, опуская слово «обобщенный».

Во-вторых, из формулы Даламбера ясно, что значение решения в точке зависит лишь от значений при и от значений при Во всяком случае, достаточно знать на Отрезок высекается на оси х в -пространстве характеристиками, проходящими через точку (см. рис. 3). Образованный этими характеристиками и осью треугольник образует множество тех точек полуплоскости в которых значение решения полностью определяется начальными данными на отрезке (этот треугольник называется областью зависимости для отрезка ). Элементарный анализ вывода формулы Даламбера показывает, что она верна для любого решения, определённого в треугольнике, у которого боковыми сторонами являются характеристики, а нижнее основание — отрезок оси (т. е. не обязательно требовать, чтобы решение было определено всюду в полуплоскости ). В самом деле, из уравнений (2.20), (2.21) мы находим значения при (если начальные данные определены на ). Но это даёт значения при т. е. когда проведенные через точку характеристики пересекают отрезок на оси При этом, конечно, можно считать, что определены только на определена в указанном треугольнике, являющемся областью зависимости отрезка Физический смысл области зависимости очевиден: она состоит из тех точек для которых волна, движущаяся со скоростью а от одного из концов отрезка и начавшая движение при не успевает за время t дойти до точки х.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Далее, значения начальных данных на не влияют на значение если или (т. е. волна за время t не успевает дойти от ближайшего к точке конца отрезка [с, d] до точки ). Поэтому область, ограниченная отрезком [с, d] и лучами прямых лежащими в полуплоскости , называется областью влияния отрезка [с, d] (заштрихованная область на рис. 4). Эта область является дополнением множества тех точек для которых не зависит от значений на

Пример 2.1. Нарисуем форму струны в различные моменты времени, если имеет вид, изображенный выше на первом из графиков рис. 5, т. е. график имеет форму равнобедренного треугольника в основанием .

Пусть . Мы будем рисовать форму струны в наиболее характерные моменты времени, когда происходит изменение её формы. Все эти рисунки вместе образуют своеобразный мультфильм о колебаниях струны, которую оттянули в точке придерживая концы отрезка а затемотпустили. Из формулы

видно, что первоначальное возмущение делится на две одинаковые части, которые разбегаются влево и вправо со скоростью .

Пунктиром на рис. 5 изображены разбегающиеся полуволны и , в сумме дающие . Число считается достаточно малым по сравнению с характерным интервалом времени (достаточно, чтобы было ).