6.5. Фундаментальное решение для оператора теплопроводности. Формула Дюамеля

Теорема 6.4. Фундаментальным решением оператора является локально интегрируемая функция

где — функция Хевисайда при при .

Доказательство. Приведём вначале эвристическое обоснование того, что — фундаментальное решение. Мы видели, что — непрерывная функция от t со значениями в при . Функция не является непрерывной функцией от t со значениями в , а имеет при скачок, равный . Поэтому после применения оператора мы получим , где в аналогичном смысле непрерывна по t. Но тогда

поскольку непрерывное по t слагаемое должно исчезнуть ввиду того, что — при Это важное рассуждение позволяет писать фундаментальное решение во всех случаях, когда мы умеем писать решение задачи Коши в виде интеграла типа интеграла Пуассона. Однако возиться с его обоснованием мы не будем, поскольку проще непосредственно проверить, что — фундаментальное решение.

Начнём с проверки локальной интегрируемости Легко видеть, что так что нужно лишь проверить локальную интегрируемость в окрестности начала координат. Поскольку

для любого , то

Пусть так что . Из (6.23) мы видим, что функция мажорируется интегрируемой в окрестности точки функцией, так что она сама локально интегрируема. Пусть теперь . Имеем:

Перебросим в интеграле производную — и лапласиан обратно на . Поскольку при , то в результате получится лишь граничный интеграл по плоскости возникающий от переброски интегрированием по частям:

Последний интеграл представляет собой , где — интеграл Пуассона с начальной функцией Рассмотрим ещё интеграл Пуассона u(t, х) с начальной функцией По принципу максимума

Отсюда ясно, что

Но, как мы уже видели,

Отсюда , что даёт тождество

означающее в силу (6.24) справедливость утверждения теоремы.

Следствие 6.5. Если где — область в то

Таким образом, оператор теплопроводности представляет собой пример гипоэллиптического, но не эллиптического оператора. Отметим, что уравнение теплопроводности имеет бесконечно дифференцируемые, но неаналитические решения (например, ) в окрестности точки , где .

Знание фундаментального решения позволяет решать неоднородное уравнение. Например, решение u(t, х) задачи

имеет вид

при надлежащих предположениях относительно , которые мы не будем точно формулировать. Интересен первый интеграл в (6.26). Его внутренний интеграл

представляет собой решение задачи Коши

Представление решения задачи Коши (6.25) с нулевой начальной функцией в виде

где — решение задачи Коши (6.27) (уже для однородного ), называется формулой Дюамеля. Аналогичное представление возможно для любых эволюционных уравнений. В частности, точно такое же представление годится для операторов вида где — линейный дифференциальный оператор по с переменными коэффициентами; разумеется в (6.27) надо в этом случае заменить на . Формальная проверка очень проста: при применении оператора к обеим частям (6.28), мы получим справа

что и требовалось.