6.5. Фундаментальное решение для оператора теплопроводности. Формула Дюамеля
Теорема 6.4. Фундаментальным решением оператора
является локально интегрируемая функция
где
— функция Хевисайда
при
при
.
Доказательство. Приведём вначале эвристическое обоснование того, что
— фундаментальное решение. Мы видели, что
— непрерывная функция от t со значениями в
при
. Функция
не является непрерывной функцией от t со значениями в
, а имеет при
скачок, равный
. Поэтому после применения оператора мы получим
, где
в аналогичном смысле непрерывна по t. Но тогда
поскольку непрерывное по t слагаемое должно исчезнуть ввиду того, что —
при
Это важное рассуждение позволяет писать фундаментальное решение во всех случаях, когда мы умеем писать решение задачи Коши в виде интеграла типа интеграла Пуассона. Однако возиться с его обоснованием мы не будем, поскольку проще непосредственно проверить, что
— фундаментальное решение.
Начнём с проверки локальной интегрируемости
Легко видеть, что
так что нужно лишь проверить локальную интегрируемость в окрестности начала координат. Поскольку
Отсюда
, что даёт тождество
означающее в силу (6.24) справедливость утверждения теоремы.
Следствие 6.5. Если
где
— область в
то
Таким образом, оператор теплопроводности представляет собой пример гипоэллиптического, но не эллиптического оператора. Отметим, что уравнение теплопроводности имеет бесконечно дифференцируемые, но неаналитические решения (например,
) в окрестности точки
, где
.
Знание фундаментального решения позволяет решать неоднородное уравнение. Например, решение u(t, х) задачи
имеет вид
при надлежащих предположениях относительно
, которые мы не будем точно формулировать. Интересен первый интеграл в (6.26). Его внутренний интеграл
представляет собой решение задачи Коши