Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
4.3. Топология и сходимость в пространствах обобщённых функций
Пусть
— одно из пространств основных функций
или
— соответствующее пространство линейных непрерывных функционалов на
(обобщённых функций). Мы будем рассматривать пространство
с так называемой слабой топологией, т. е. топологией, определяемой полунормами
В частности, сходимость
в этой топологии означает, что
для любого
. Мы будем использовать в этом случае и обычное обозначение
.
Пример
последовательность. Рассмотрим построенные выше функции
. Напомним, что они обладают свойствами:
Докажем, что отсюда вытекает соотношение
в
. В самом деле, это означает, что
для любой функции
. Учитывая свойство б), мы можем переписать (4.20) в виде соотношения
, очевидным образом верного ввиду оценки
Отметим, что (4.19) верно не только в
, но и в
и даже в
если
.
Последовательности «обычных» функций, сходящиеся к
-функции, называют
-образными. Можно значительно ослабить свойства
сохранив
-образность последовательности. Так, в теории рядов Фурье доказывается
-образность (например, в
) последовательности ядер Дирихле:
определяемых тем условием, что
есть сумма к первых членов ряда Фурье функции
при
. Аналогичным образом,
-образную последовательность в
образуют ядра Фейера
определяемые из того условия, что
есть среднее арифметическое к первых частичных сумм ряда Фурье. В дальнейшем мы встретим и ряд других важных примеров
-образных последовательностей. Отметим, что по сути дела всегда и в более сложных ситуациях
-образность доказывается тем же самым приёмом, что и для
.
Пример 4.6. Обобщенные функции
.
«Обычные» функции
переменного
при
определяют обобщённые функции умеренного роста (элементы
). Оказывается, что в
существуют пределы
(левые части здесь по определению равны пределам, написанным в правых частях).
Проверим, например, существование предела в
.
Нужно доказать, что если
то предел
существует и представляет собой линейный непрерывный функционал от
.
Это проще всего сделать, проведя интегрирование по частям. А именно, имеем
где ветвь
выбирается произвольно (но непрерывно при всех
. Интегрирование по частям даёт теперь
Поскольку
, то ясно, что по теореме Лебега правая часть (4.25) имеет при
предел, равный
Поскольку
растет на бесконечности не быстрее
при любом
, то ясно, что в правой части (4.26) стоит конечная величина, задающая непрерывный функционал от
. Этот функционал и обозначается
Изучим подробнее первое слагаемое в (4.26). Имеем
поскольку
. В частности мы доказали, что последний предел в (4.27) существует и задаёт функционал из
. Этот функционал обозначается v. р. - (буквы v. р. — начальные буквы французских слов «valeur principale», что означает «главное значение»).
Таким образом, по определению
Кроме того, теперь мы можем переписать (4.26) в виде
Аналогично получается, что
Формулы (4.29) и (4.30) называются формулами Сохоцкого. Из них вытекает, в частности, что
Существование пределов в (4.24) и в (4.28) можно также доказать, разложив
в сумму функции, равной
в окрестности точки 0 и функции, равной 0 в точке 0. Для каждого из слагаемых существование пределов легко проверяется. Таким образом можно получить и формулы Сохоцкого.
Обобщенные функции и v. р. — представляют собой различные «регуляризации» неинтегрируемой функции
, т. е. позволяют придать смысл расходящемуся интегралу
. Мы видим, что это делается неоднозначно, так что неинтегрируемой функции — можно поставить в соответствие много обобщённых функций. Процедура регуляризации важна, если мы хотим использовать - как обобщённую функцию (например, если мы хотим её дифференцировать). Такая или подобная процедура применимы и ко многим другим неинтегрируемым функциям.