4.3. Топология и сходимость в пространствах обобщённых функций

Пусть — одно из пространств основных функций или — соответствующее пространство линейных непрерывных функционалов на (обобщённых функций). Мы будем рассматривать пространство с так называемой слабой топологией, т. е. топологией, определяемой полунормами

В частности, сходимость в этой топологии означает, что

для любого . Мы будем использовать в этом случае и обычное обозначение .

Пример последовательность. Рассмотрим построенные выше функции . Напомним, что они обладают свойствами:

Докажем, что отсюда вытекает соотношение

в . В самом деле, это означает, что

для любой функции . Учитывая свойство б), мы можем переписать (4.20) в виде соотношения , очевидным образом верного ввиду оценки

Отметим, что (4.19) верно не только в , но и в и даже в если .

Последовательности «обычных» функций, сходящиеся к -функции, называют -образными. Можно значительно ослабить свойства сохранив -образность последовательности. Так, в теории рядов Фурье доказывается -образность (например, в ) последовательности ядер Дирихле:

определяемых тем условием, что есть сумма к первых членов ряда Фурье функции при . Аналогичным образом, -образную последовательность в образуют ядра Фейера

определяемые из того условия, что есть среднее арифметическое к первых частичных сумм ряда Фурье. В дальнейшем мы встретим и ряд других важных примеров -образных последовательностей. Отметим, что по сути дела всегда и в более сложных ситуациях -образность доказывается тем же самым приёмом, что и для .

Пример 4.6. Обобщенные функции .

«Обычные» функции переменного при определяют обобщённые функции умеренного роста (элементы ). Оказывается, что в существуют пределы

(левые части здесь по определению равны пределам, написанным в правых частях).

Проверим, например, существование предела в .

Нужно доказать, что если то предел

существует и представляет собой линейный непрерывный функционал от .

Это проще всего сделать, проведя интегрирование по частям. А именно, имеем

где ветвь выбирается произвольно (но непрерывно при всех . Интегрирование по частям даёт теперь

Поскольку , то ясно, что по теореме Лебега правая часть (4.25) имеет при предел, равный

Поскольку растет на бесконечности не быстрее при любом , то ясно, что в правой части (4.26) стоит конечная величина, задающая непрерывный функционал от . Этот функционал и обозначается

Изучим подробнее первое слагаемое в (4.26). Имеем

поскольку . В частности мы доказали, что последний предел в (4.27) существует и задаёт функционал из . Этот функционал обозначается v. р. - (буквы v. р. — начальные буквы французских слов «valeur principale», что означает «главное значение»).

Таким образом, по определению

Кроме того, теперь мы можем переписать (4.26) в виде

Аналогично получается, что

Формулы (4.29) и (4.30) называются формулами Сохоцкого. Из них вытекает, в частности, что

Существование пределов в (4.24) и в (4.28) можно также доказать, разложив в сумму функции, равной в окрестности точки 0 и функции, равной 0 в точке 0. Для каждого из слагаемых существование пределов легко проверяется. Таким образом можно получить и формулы Сохоцкого.

Обобщенные функции и v. р. — представляют собой различные «регуляризации» неинтегрируемой функции , т. е. позволяют придать смысл расходящемуся интегралу . Мы видим, что это делается неоднозначно, так что неинтегрируемой функции — можно поставить в соответствие много обобщённых функций. Процедура регуляризации важна, если мы хотим использовать - как обобщённую функцию (например, если мы хотим её дифференцировать). Такая или подобная процедура применимы и ко многим другим неинтегрируемым функциям.