Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 9.3. Волновое уравнение как гамильтонова системаВыше при Введём терминологию, аналогичную терминологии, употребляемой в классической механике. Пространство Путь в М — это функция
Кинетической энергией называется функция К на касательном расслоении, определяемая формулой
Если дан путь
которую будем называть кинетической энергией вдоль пути u. Потенциальной энергией назовем следующую функцию U на М:
Если есть путь в М, то потенциальная энергия вдоль этого пути является функцией времени. С помощью канонической проекции
Лагранжианом или функцией Лагранжа назовем функцию
где
Волновое уравнение (9.1) может быть записано в виде
где Теперь ясно, что условие Для перехода к гамильтонову формализму теперь надо было бы ввести кокасательное расслоение Гамильтониан или энергия — это следующая функция на
Если дан путь Предложение 9.1 (закон сохранения энергии). Энергия постоянна вдоль любого пути Доказательство. Вдоль пути
что и требовалось. Следствие 9.2. При любых
Доказательство. Достаточно проверить, что если Гамильтонова запись уравнения использует ещё сгшплектическую форму на
(это аналог употребляемой в классической механике Полезно в качестве упражнения продумать, почему уравнение Нам важно, однако, что преобразование фазового потока гамильтоновой системы сохраняет симплектическую форму (или, как говорят, является каноническим преобразованием). Сформулируем конкретный аналитический факт, из которого это вытекает. Предложение 9.3. Пусть даны два пути
Тогда если
что и требовалось.
|
1 |
Оглавление
|