9.3. Волновое уравнение как гамильтонова система

Выше при мы уже обсуждали возможность записи волнового уравнения как уравнения Лагранжа некоторой системы с бесконечным числом степеней свободы. Теперь сделаем кратко то же самое при вводя соответствующие величины по аналогии с одномерным случаем. Кроме того, мы обсудим и возможность перехода к гамильтонову формализму. Для простоты мы будем рассматривать лишь такие функции которые являются гладкими функциями от t со значениями в , т.е. будем исследовать уравнение (9.1) в классе быстро убывающих по функций.

Введём терминологию, аналогичную терминологии, употребляемой в классической механике.

Пространство будем называть конфигурационным пространством. Элемент можно представлять себе как «набор координат» трёхмерной системы, причём — это «номер» или «индекс» координаты, а — сама координата с «номером» Касательным расслоением к М будем называть прямое произведение Как обычно, множество пар при фиксированном обозначается и называется касательным пространством в точке (это пространство берется канонически изоморфным М, как в случае, когда М — конечномерное векторное пространство). Элементы ТМ называются касательными векторами.

Путь в М — это функция , являющаяся бесконечно дифференцируемой функцией от t со значениями в Скорость пути u(t, х) в момент времени — это касательный вектор

Кинетической энергией называется функция К на касательном расслоении, определяемая формулой

Если дан путь в М, то беря при каждом t касательный вектор и значение на нём кинетической энергии, мы получим функцию времени

которую будем называть кинетической энергией вдоль пути u.

Потенциальной энергией назовем следующую функцию U на М:

Если есть путь в М, то потенциальная энергия вдоль этого пути является функцией времени. С помощью канонической проекции функция U поднимается до функции на , которую мы снова будем обозначать через U. Таким образом

Лагранжианом или функцией Лагранжа назовем функцию . Действием вдоль пути назовем интеграл вдоль этого пути

где

Волновое уравнение (9.1) может быть записано в виде где — вариация (или дифференциал) функционала , которая берётся по путям и с фиксированными началом и и концом . В самом деле, если допустимая вариация пути, т.е. гладкая функция от со значениями в причём то для такой вариации пути имеет вид

где — даламбертиан.

Теперь ясно, что условие равносильно уравнению т.е. волновому уравнению (9.1).

Для перехода к гамильтонову формализму теперь надо было бы ввести кокасательное расслоение . Но в нашем случае на каждом касательном пространстве имеется скалярное произведение, задаваемое квадратичной формой К, что позволяет отождествить и . Итак, положим и .

Гамильтониан или энергия — это следующая функция на :

Если дан путь , то вдоль этого пути является функцией времени.

Предложение 9.1 (закон сохранения энергии). Энергия постоянна вдоль любого пути удовлетворяющего уравнению .

Доказательство. Вдоль пути имеем

что и требовалось.

Следствие 9.2. При любых существует не более одного пути удовлетворяющего уравнению начальным условиям

Доказательство. Достаточно проверить, что если , то . Но это сразу следует из того, что вдоль этого пути .

Гамильтонова запись уравнения использует ещё сгшплектическую форму на . Симплектическая форма должна быть задана на каждом касательном пространстве к в фиксированной точке. В нашем случае такое касательное пространство естественно отождествить с самим так что мы будем иметь . Элемент нужно записывать в виде четверки состоящей из функций, принадлежащих . Сама симплектическая форма будет зависеть лишь от . Положим для краткости . Тогда симплектическая форма, по определению, имеет вид

(это аналог употребляемой в классической механике -формы ).

Полезно в качестве упражнения продумать, почему уравнение имеет гамильтонов вид при описанном введении симплектической структуры. Нам это не понадобится, и мы не будем этого делать.

Нам важно, однако, что преобразование фазового потока гамильтоновой системы сохраняет симплектическую форму (или, как говорят, является каноническим преобразованием). Сформулируем конкретный аналитический факт, из которого это вытекает.

Предложение 9.3. Пусть даны два пути Рассмотрим следующую функцию от t

Тогда если , то . Доказательство. Имеем:

что и требовалось.