9.4. Сферическая волна от мгновение» вспышки и решение задачи Коши для трехмерного волнового уравнения

Вернёмся к рассмотрению сферических волн и рассмотрим расходящуюся волну

Функция характеризует интенсивность источника волны в момент времени t. Интересно взять волну, испускаемую при мгновенной вспышке источника. Для этого положим . Мы получим волну

которой нужно ещё придать точный смысл.

Придать точный смысл волне (9.9) можно многими эквивалентными способами. Мы будем считать её обобщённой функцией по х, зависящей от t как от параметра.

Рассмотрим сначала волну (9.8) и возьмем в ней , где при , так что при . Теперь положим

если предел существует в (или, что то же самое в , поскольку носители всех функций лежат в фиксированном компакте). Ясно, что предел существует при и равен нулю, так что при . Мы увидим, что предел существует и при . Тогда этот предел является обобщённой функцией , причём ясно, что

Поскольку бесконечно дифференцируема в окрестности , то определена обобщённая функция — причём

Докажем существование предела (9.10) при и вычислим этот предел. Пусть . Запишем интеграл в полярных координатах:

где — элемент площади поверхности сферы радиуса . Ясно, что интеграл является бесконечно дифференцируемой функцией от при . Поскольку , то мы имеем, очевидно:

и, таким образом, предел в (9.10) существует, причём

Можно перейти здесь к интегрированию по единичной сфере, записав

Отсюда

Полезно изучить зависимость от параметра t. Из формулы (9.14) ясно, что

и мы по непрерывности положим . Наконец, из ясно, что бесконечно дифференцируема по t при (в слабой топологии). Производные по t легко вычисляются. Например,

Отсюда, в частности, видно, что

(первый из интегралов в (9.16) стремится , а второй к нулю).

Наконец, ввиду соотношения (9.11) ясно, что

Таким образом, обобщённая функция Г является при решением волнового уравнения и удовлетворяет начальным условиям

Аналогично строится сходящаяся волна , которая равна при , а при t < 0 является решением волнового уравнения и удовлетворяет начальным условиям

(все это ясно, например, из того, что заменой t на —t). Кроме того, можно делать сдвиг по пространственным и временным переменным и рассмотреть волны

также являющиеся решениями волнового уравнения с начальными условиями (при ), полученными заменой на в условиях (9.19) и (9.20).

Теперь мы хотим применить теорему о сохранении симплектической формы (предложение 9.3) к произвольному решению уравнения и к волне

Мы будем считать, что и выполнено уравнение (оператор применяется в смысле обобщённых функций). Тогда форма имеет смысл:

где скобки означают значение обобщённой функции переменного на основной функции (t является параметром), что имеет смысл при (а не ) благодаря явным формулам (9.14), (9.16).

Теперь нам необходимо соотношение , которое справедливо при и и доказывается аналогично предложению 9.3 (или может быть получено с помощью аппроксимации u и v гладкими финитными по решениями волнового уравнения, что можно сделать, например, с помощью операции усреднения). По существу нужно лишь проверить, что , что видно, например, из явных формул (9.14), (9.15), задающих функционалы . Теперь мы выпишем явно соотношение

Положим . Тогда

Далее, в силу (9.20) имеем:

Поэтому соотношение (9.21) записывается в виде:

Заменяя на х, мы получаем отсюда:

где — элемент площади сферы .

Мы получили формулу, дающую решение задачи Коши

Формула (9.22) называется формулой Кирхгофа. Сделаем некоторые выводы из неё.

1. Решение задачи Коши единственно и непрерывно зависит от начальных данных при подходящем выборе топологий (например, если непрерывно меняется в ), а непрерывно меняется в то непрерывно меняется в при каждом .

2. Значение решения в момент времени t в точке зависит лишь от начальных данных вблизи сферы .

Предположим, что при начальное состояние отлично от 0 лишь в некоторой малой окрестности одной точки Но тогда в момент времени t возмущение будет отлично от 0 лишь в малой окрестности сферы . Это значит, что возмущение распространяется со скоростью а и при этом через некоторое малое время совсем исчезает в каждой данной точке наблюдения. Таким образом, распространяющаяся волна имеет передний и задний фронты. Резко локализованное начальное состояние наблюдается позднее из другой точки как явление, столь же резко локализованное. Это явление называется принципом Гюйгенса. Благодаря тому, что принцип Гюйгенса имеет место для волнового уравнения при мы можем передавать информацию при помощи звука или света. Как мы увидим ниже, при принцип Гюйгенса уже не имеет места (раз начавшись, колебания никогда не кончаются — например, волны на воде). Тем самым, жителям Флатландии (плоского мира) было бы очень трудно передавать информацию на расстояние.

Мы ещё не доказали существование решения задачи Коши (9.23). Но это проще всего сделать, взяв функцию построенную по формуле Кирхгофа (9.22), и проверив, что она является решением задачи (9.23). Выполнение уравнения можно вывести из того, что в формуле (9.22) написана сумма двух свёрток и (свёртки берутся по переменной считается параметром) функций с обобщёнными функциями по гладко зависящими от t и удовлетворяющими в естественном смысле волновому уравнению (при ).

Мы используем другой, более удобный способ рассуждений. Чтобы не возиться с рассмотрением обобщенных функций, зависящих от параметра, удобно рассмотреть r как обобщенную функцию на , полагая

Из этой формулы видно, в частности, что определяемый правой чатстью функционал на является обобщённой функцией и мы будем снова обозначать её . Таким образом, можно считать, что

Легко видеть, что , где верхняя пола светового конуса , а именно:

Легко проверяется также, что при . В самом деле, вне , поэтому достаточно проверить, что при . Но это ясно, например, из соотношения (9.11), верного и в том случае, когда предел понимается в при любом

Теперь можно проверить, что правая часть (9.22) имеет вид суммы двух свёрток

а тогда выполнение уравнения очевидно из свойств свёртки.

Начальные условия в (9.23) можно также вывести из (9.25), однаг ко мы сделаем это непосредственно, опираясь на структуру формулы (9.22).

Заметим, что формула Кирхгофа имеет вид

где

а — аналогичное выражение, полученное заменой на . Эта структура формулы Кирхгофа не случайна. В самом деле, пусть мы доказали, что — решение задачи Коши

Докажем, что тогда является решением задачи Коши

Уравнение выполняется по очевидной причине, как и условие вытекающее из последнего условия в (9.28). Остаётся проверить последнее условие в (9.29). Считая, что при , мы получим:

что и требовалось. Условие выполнено, например, при , как это видно, например, из записи и в виде:

Из этой же записи очевидно выполнение (9.28) при Итак, если , то формула Кирхгофа (9.22) даёт решение задачи Коши (9.23) (уравнение выполняется в обобщённом смысле при . Если дополнительно считать, что то и уравнение выполняется в классическом смысле. Итак, задача Коши (9.23) однозначно разрешима. Из формулы Кирхгофа ясно также, что она корректна.