Начальные условия (2.29) определяют аналогично случаю неограниченной Струны
при
причём получаются те же формулы. Поэтому при
решение даётся формулой Даламбера, что, впрочем, было ясно и так. Но теперь можно использовать граничное условие (2.28), из которого получается, что
откуда
Слагаемые в (2.31) при подстановке
дадут сумму двух бегущих вправо волн, из которых одна равна
и естественно интерпретируется как волна, созданная колебанием конца струны, а вторая равна
и интерпретируется как отражение от конца бегущей влево волны
(заметим, что это отражение происходит с изменением знака). Если левый конец закреплен, т. е.
, то остаётся только волна
, а если нет бегущей влево волны, то остаётся лишь волна
, индуцированная граничным колебанием
.
Укажем геометрически более наглядный способ решения задачи с закрепленным концом. Итак, мы хотим решить волновое уравнение (2.6) при
при начальных условиях (2.29) и граничном условии
Попробуем найти решение в виде правой части формулы Даламбера (2.25), где
являются какими-то продолжениями на всю числовую ось функций
, определённых при
начальными условиями (2.29). Граничное условие даёт
откуда видно, что мы достигнем цели, если продолжим
нечётным образом, т. е. положим
Итак, мы можем построить решение нашей задачи. Единственность его не видна сразу из этого способа, однако, к счастью, мы уже доказали её раньше.