2.3. Полуограниченная струна. Отражение волн от конца струны

Рассмотрим уравнение (2.6) при . На конце надо задавать граничное условие. Пусть, например, задано движение левого конца струны:

и обычные начальные условия, но при :

Задача, в которой задаются начальные и граничные условия, называется обычно смешанной задачей. Таким образом, задача с условиями для волнового уравнения (2.6) является примером смешанной задачи (иногда её называют 1-й краевой задачей для уравнения струны). Убедимся, что эта краевая задача также корректна и решим её.

Для аналитического решения проще всего использовать тот же способ, что и в задаче Коши. Квадрант является выпуклой областью, так что мы можем снова написать

но теперь функция определена и нужна для нахождения и уже лишь при (функция ) по-прежнему определена при всех поскольку при .

Начальные условия (2.29) определяют аналогично случаю неограниченной Струны при причём получаются те же формулы. Поэтому при решение даётся формулой Даламбера, что, впрочем, было ясно и так. Но теперь можно использовать граничное условие (2.28), из которого получается, что

откуда

Слагаемые в (2.31) при подстановке дадут сумму двух бегущих вправо волн, из которых одна равна и естественно интерпретируется как волна, созданная колебанием конца струны, а вторая равна и интерпретируется как отражение от конца бегущей влево волны (заметим, что это отражение происходит с изменением знака). Если левый конец закреплен, т. е. , то остаётся только волна , а если нет бегущей влево волны, то остаётся лишь волна , индуцированная граничным колебанием .

Укажем геометрически более наглядный способ решения задачи с закрепленным концом. Итак, мы хотим решить волновое уравнение (2.6) при при начальных условиях (2.29) и граничном условии

Попробуем найти решение в виде правой части формулы Даламбера (2.25), где являются какими-то продолжениями на всю числовую ось функций , определённых при начальными условиями (2.29). Граничное условие даёт

откуда видно, что мы достигнем цели, если продолжим нечётным образом, т. е. положим

Итак, мы можем построить решение нашей задачи. Единственность его не видна сразу из этого способа, однако, к счастью, мы уже доказали её раньше.

Пример 2.2. Пусть конец закреплен, , а график опять имеет вид равнобедренного треугольника с основанием Нарисуем мультфильм, описывающий форму струны. Продолжая нечётным образом, мы получим ту же задачу, что и в примере 2.1. Будем пунктиром рисовать левую полуось, введение которой по существу является просто математическим приёмом (реально существует лишь полуось ). Получается мультфильм, изображенный на рис. 6.

Здесь интересен момент когда вблизи конца струна не возмущена. Однако в следующий момент возмущение возникает за счёт начальной скорости. При мы получаем две бегущие вправо волны, из которых одна отрицательна и получилась отражением от конца бегущей влево волны.