§ 8. Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа
8.1. Симметрические и самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве
Пусть
— гильбертово пространство. Напомним, что линейным оператором в
называется совокупность двух объектов:
а) линейного многообразия
(т. е. линейного подпространства, вообще говоря, незамкнутого);
б) линейного отображения
. В этом случае пишут, что задан линейный оператор
хотя, строго говоря, никакого отображения
не имеется, так как оператор А не определён, вообще говоря, на всём пространстве
Здесь
называется областью определения оператора А. Линейные операторы можно складывать и умножать. А именно, если
— два линейных оператора в
, то мы полагаем
. Далее, по определению,
и при этом
при
.
Положим
Если
то определён обратный оператор
. А именно, по определению в этом случае
если
.
Если есть два таких линейных оператора
что
при
то пишут, что
и говорят, что оператор В является расширением оператора А.
Оператор А называется симметрическим, если
В дальнейшем мы введём также понятие самосопряжённого оператора (для неограниченных операторов симметричность и самосопряженность — это не одно и то же!).
Пусть А — такой линейный оператор, что
плотно в
. Тогда определён сопряжённый оператор А. Это делается с помощью тождества
Точнее, пусть
состоит из таких
что существует такой вектор
что
Поскольку
плотно в
то вектор z однозначно определён и мы полагаем
.
Если оператор А имеет плотную область определения и симметричен, то ясно, что
.
Оператор А называется самосопряжённым, если
(здесь подразумевается, что А имеет плотную область определения и
).
Ясно, что всякий самосопряжённый оператор является симметрическим. Обратное, вообще говоря, неверно.
Назовем графиком оператора А множество
Оператор называется замкнутым, если его график замкнут в
т. е. из того, что
(сходимость понимается по норме пространства
), вытекает, что
.
Самосопряжённый оператор всегда замкнут. Более общий факт: оператор А всегда замкнут. В самом деле, если
то переходя к пределу в тождестве
мы получим:
откуда
.
Если
— замкнутое подпространство в
(в частности, если
, т. е. А всюду определён), то по теореме о замкнутом графике замкнутость оператора А равносильна его ограниченности. В частности, самосопряжённый всюду определённый оператор А обязательно ограничен.
Укажем один способ конструкции самосопряжённых операторов.
Предложение 8.1. Пусть А — самосопряжённый оператор в
. Тогда оператор А самосопряжён.
Доказательство. Будем через
обозначать ортогональное дополнение к подмножеству
, а именно
для любого
.
Если дан линейный оператор А и
плотно в
, то из определения А легко следует, что
В самом деле, тождество
для любого
в силу (8.2) в точности означает, что
.
Отметим, что условие
равносильно тому, что линейная оболочка множества Е плотна в
. Поэтому, если оператор А самосопряжен и
то из (8.3) вытекает, что
плотно в
.
Таким образом, операторы
определены. Остаётся проверить, что
.
Условие
равносильно тому, что
Полагая
, мы видим, что (8.4) равносильно условию
что означает включение
и равенство
Но поскольку
, то это то же самое, что включение
и равенство
, которое можно также переписать в виде
. Мы доказали, что условие
с равенством
равносильны включению
с равенством
. Таким образом,
что и требовалось.
Следствие 8.2. Пусть дан ограниченный всюду определённый симметрический оператор В и пусть
. Тогда оператор
самосопряжён.
Важность самосопряжённых операторов видна из спектральной теоремы. Прежде чем её сформулировать, приведём пример самосопряжённого оператора.
Пусть М — пространство с мерой
, т. е. множество, в котором выделена
-алгебра его подмножеств и на ней задана счётно-аддитивная мера (со значениями в
). Построим обычным образом пространство
состоящее из классов измеримых функций на М, имеющих интегрируемый квадрат модуля. Тогда
— гильбертово пространство. Пусть
— вещественнозначная измеримая и почти везде конечная функция на М. Оператор А умножения на
определяется по формуле
где
Такой оператор всегда самосопряжён. В самом деле, симметричность его очевидна и надо лишь проверить, что
Пусть
. Проверим, что
при почти всех
. Рассмотрим множество
и пусть
при
при
. Условие
означает, что
для любой функции
Заметим, что если
, то
. Отсюда следует, что
для любого
. Но ясно, что
так как функция а ограничена на
. Поэтому ввиду произвольности
ясно, что
. Поэтому если
то
.
Поскольку функция
почти везде конечна, то множество
имеет меру 0. Таким образом,
почти везде. В частности,
т.е. и
что и требовалось.
Важный пример: рассмотрим пространство
, т. е. пространство последовательностей
, для которых
. Оператор А, переводящий
где
, определённый на тех последовательностях
для которых
является самосопряжённым оператором. В этом примере М есть счетное множество, а мера каждой точки равна единице.
Операторы
— называются унитарно эквивалентными, если существует такой унитарный оператор
(т. е. обратимый оператор, сохраняющий скалярное произведение), что
(напомним, что равенство операторов подразумевает равенство областей определения), т. е. коммутативна диаграмма