§ 8. Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа

8.1. Симметрические и самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве

Пусть — гильбертово пространство. Напомним, что линейным оператором в называется совокупность двух объектов:

а) линейного многообразия (т. е. линейного подпространства, вообще говоря, незамкнутого);

б) линейного отображения . В этом случае пишут, что задан линейный оператор хотя, строго говоря, никакого отображения не имеется, так как оператор А не определён, вообще говоря, на всём пространстве

Здесь называется областью определения оператора А. Линейные операторы можно складывать и умножать. А именно, если — два линейных оператора в , то мы полагаем . Далее, по определению, и при этом при .

Положим

Если то определён обратный оператор . А именно, по определению в этом случае если .

Если есть два таких линейных оператора что при то пишут, что и говорят, что оператор В является расширением оператора А.

Оператор А называется симметрическим, если

В дальнейшем мы введём также понятие самосопряжённого оператора (для неограниченных операторов симметричность и самосопряженность — это не одно и то же!).

Пусть А — такой линейный оператор, что плотно в . Тогда определён сопряжённый оператор А. Это делается с помощью тождества

Точнее, пусть состоит из таких что существует такой вектор что

Поскольку плотно в то вектор z однозначно определён и мы полагаем .

Если оператор А имеет плотную область определения и симметричен, то ясно, что .

Оператор А называется самосопряжённым, если (здесь подразумевается, что А имеет плотную область определения и ).

Ясно, что всякий самосопряжённый оператор является симметрическим. Обратное, вообще говоря, неверно.

Назовем графиком оператора А множество

Оператор называется замкнутым, если его график замкнут в т. е. из того, что (сходимость понимается по норме пространства ), вытекает, что .

Самосопряжённый оператор всегда замкнут. Более общий факт: оператор А всегда замкнут. В самом деле, если то переходя к пределу в тождестве

мы получим:

откуда .

Если — замкнутое подпространство в (в частности, если , т. е. А всюду определён), то по теореме о замкнутом графике замкнутость оператора А равносильна его ограниченности. В частности, самосопряжённый всюду определённый оператор А обязательно ограничен.

Укажем один способ конструкции самосопряжённых операторов.

Предложение 8.1. Пусть А — самосопряжённый оператор в . Тогда оператор А самосопряжён.

Доказательство. Будем через обозначать ортогональное дополнение к подмножеству , а именно для любого .

Если дан линейный оператор А и плотно в , то из определения А легко следует, что

В самом деле, тождество для любого в силу (8.2) в точности означает, что .

Отметим, что условие равносильно тому, что линейная оболочка множества Е плотна в . Поэтому, если оператор А самосопряжен и то из (8.3) вытекает, что плотно в .

Таким образом, операторы определены. Остаётся проверить, что .

Условие равносильно тому, что

Полагая , мы видим, что (8.4) равносильно условию

что означает включение и равенство Но поскольку , то это то же самое, что включение и равенство , которое можно также переписать в виде . Мы доказали, что условие с равенством равносильны включению с равенством . Таким образом, что и требовалось.

Следствие 8.2. Пусть дан ограниченный всюду определённый симметрический оператор В и пусть . Тогда оператор самосопряжён.

Важность самосопряжённых операторов видна из спектральной теоремы. Прежде чем её сформулировать, приведём пример самосопряжённого оператора.

Пусть М — пространство с мерой , т. е. множество, в котором выделена -алгебра его подмножеств и на ней задана счётно-аддитивная мера (со значениями в ). Построим обычным образом пространство состоящее из классов измеримых функций на М, имеющих интегрируемый квадрат модуля. Тогда — гильбертово пространство. Пусть — вещественнозначная измеримая и почти везде конечная функция на М. Оператор А умножения на определяется по формуле где

Такой оператор всегда самосопряжён. В самом деле, симметричность его очевидна и надо лишь проверить, что

Пусть . Проверим, что при почти всех . Рассмотрим множество

и пусть при при . Условие означает, что

для любой функции Заметим, что если , то . Отсюда следует, что

для любого . Но ясно, что так как функция а ограничена на . Поэтому ввиду произвольности ясно, что . Поэтому если то .

Поскольку функция почти везде конечна, то множество имеет меру 0. Таким образом, почти везде. В частности, т.е. и что и требовалось.

Важный пример: рассмотрим пространство , т. е. пространство последовательностей , для которых . Оператор А, переводящий где , определённый на тех последовательностях для которых является самосопряжённым оператором. В этом примере М есть счетное множество, а мера каждой точки равна единице.

Операторы — называются унитарно эквивалентными, если существует такой унитарный оператор (т. е. обратимый оператор, сохраняющий скалярное произведение), что (напомним, что равенство операторов подразумевает равенство областей определения), т. е. коммутативна диаграмма

Теорема (спектральная теорема). Всякий самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен некоторому оператору умножения на функцию (см., например, Рид и Саймон [45]).

Заметим, что унитарная эквивалентность оператора А описанному выше оператору в означает, что пространство сепарабельно и в пространстве имеется ортогональный базис , состоящий из собственных векторов оператора А с собственными значениями При этом

Если ещё при то говорят, что оператор А имеет дискретный спектр. Если , то дискретность спектра оператора А равносильна тому, что оператор всюду определён и компактен (вполне непрерывен). Это вытекает из известной теоремы о том, что компактный самосопряженный оператор имеет ортогональный базис из собственных векторов с собственными значениями причём при .