§ 7. Пространства Соболева. Обобщённое решение задачи Дирихле
7.1. Пространства
Пусть
— открытое подмножество в
.
Определение 7.1. Пространство Соболева
состоит из таких и
что
при
(а — мультииндекс), где производная понимается в смысле обобщённых Функций.
Введём в
скалярное произведение
где скобки
означают скалярное произведение в
Введём также соответствующую норму
Ясно, что
при
. Далее,
. В частности, каждое пространство
вложено в
Предложение 7.2. Скаллрное произведение
определяет в
структуру сепарабельного гильбертова пространства.
Доказательство. Не очевидны лишь полнота и сепарабельность. Проверим полноту. Пусть последовательность фундаментальна
. Это означает в силу определения нормы
, что все последовательности (при
) фундаментальны в
. Но тогда в силу полноты пространства
они сходятся, т.е.
по норме
. В частности,
. Но тогда
, а поскольку, с другой стороны,
, то
Таким образом,
при
. Но это и означает, что
Проверим сепарабельность. Отображение и задаёт
изометричное вложение
в прямую сумму нескольких экземпляров пространства
. Теперь сепарабельность
вытекает из сепарабельности
.
где
не зависит от то условие
равносильно тому, что
, а норма (7.2) при
эквивалентна норме
которую мы будем обозначать так же, как и норму (7.3) (опасность путаницы не возникнет). Таким образом, доказано
Предложение 7.3. Пространство
состоит из тех и только тех и
, для которых
а норма в нём может быть задана формулой (7.4).
Это предложение может служить основой для определения пространств
при любом действительном s. А именно, при любом
мы можем составить пространство тех и
что
введя на нём норму (7.4). Мы снова получим сепарабельное гильбертово пространство, которое и обозначается
В дальнейшем нам понадобится банахово пространство
(здесь к
), состоящее из функций и
производные которых
к, ограничены при всех
Норма в
задается формулой
Теорема 7.4 (теорема вложения С. Л. Соболева). При
к имеет место вложение
причём оператор вложения непрерывен.
Поясним формулировку теоремы. На первый взгляд кажется, что она бессмысленна, поскольку функцию и
можно как угодно изменять на любом множестве меры нуль, не меняя соответствующей обобщённой функции (и элемента пространства
). Изменяя же функцию и во всех точках с рациональными координатами, мы можем добиться того, что она будет всюду разрывной.
Поэтому включение (7.6) следовало бы более точно формулировать так: если
, то существует и единственна функция
совпадающая с исходной функцией
почти всюду (для краткости вместо
мы снова будем писать u). Заметим, что единственность непрерывного представителя очевидна, так как в любой окрестности точки
найдутся точки любого множества полной меры, так что изменение непрерывной функции на множестве меры нуль приводит к функции, которая разрывна во всяком случае во всех точках, где произошло изменение.
Доказательство теоремы 7.4. Докажем вначале, что имеет место оценка
где постоянная С не зависит от u. Удобнее всего действовать с помощью преобразования Фурье. Имеем:
откуда
и, следовательно,
Деля и умножая подынтегральное выражение на
и используя неравенство Коши-Буняковского, мы получаем:
Интеграл в первом из двух сомножителей сходится в силу того, что
, следовательно, подынтегральная функция при
убывает быстрее, чем при достаточно малом
Второй же сомножитель равен
. В итоге при
получаем неравенство (7.7).
Заметим теперь, что
плотно в
при любом
. В самом деле, введём оператор
умножающий преобразование Фурье
на
.
Этот оператор изоморфно и изометрично отображает
на
переводя
изоморфно на
. Поэтому плотность
вытекает из плотности
.
Пусть теперь
. Но из неравенства (7.7) следует, что последовательность
фундаментальна по норме
Следовательно,
. Но тогда v и
совпадают как обобщённые функции, и, следовательно, почти всюду. Неравенство (7.7) по непрерывности верно при всех и
что доказывает непрерывность вложения (7.6).
В частности, теорема 7.4 показывает, что для функций и
при
имеет смысл говорить об их значениях в точке.
Интересен также вопрос о том, когда имеет смысл ограничение на подмногообразие произвольной размерности. Однако нам он в общем виде не понадобится и мы обсудим лишь наиболее важный случай многообразия коразмерности 1. Для простоты обсудим просто случай гиперплоскости
Точку
будем записывать в виде
, где
.
Теорема 7.5 (теорема С. Л. Соболева о следах). Оператор ограничения и
при
продолжается (с
) до линейного непрерывного отображения
Доказательство. Запишем оператор ограничения через преобразование Фурье (для и
):
Отсюда видно, что если через F обозначить преобразование Фурье по
, то мы получим:
Положим для краткости
, так что
Требуемое утверждение записывается в виде оценки
где
означает норму в пространстве
, а С не зависит от u. Докажем эту оценку. Имеем:
Из (7.8) находим при любом
:
Оценим первый сомножитель. Имеем:
(мы воспользовались здесь тем, что
благодаря чему последний интеграл сходится). Таким образом, (7.11) записывается в виде
Используя это неравенство для оценки
мы получаем требуемую оценку (7.9).
Замечание. На самом деле оператор ограничения и
является эпиморфизмом
на
(см., например, Хёрмандер [55-2, гл. II]), так что утверждение теоремы является точным (индекс
не может быть увеличен).
Теорема 7.5 означает, что если
, то корректно определён след
функции и на гиперплоскости
и он является элементом
.
Получать его нужно так: представить и в виде предела
по норме
функций
. Тогда следы
при
имеют предел по норме
в пространстве
причем этот предел не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.
При желании ограничиться целыми значениями s можно воспользоваться тем, что
. Таким образом, след
функции и
принадлежит
.
Можно определить пространства
, где М — гладкое компактное многообразие (без края). А именно будем писать, что и
если для любого координатного диффеоморфизма
(здесь U — область в
— область в
) и для любой функции
имеет место включение
Здесь и о
— это обобщённая функция и, перенесённая на О с помощью диффеоморфизма
. Она умножается на
чтобы получилась обобщённая функция, носитель которой лежит в
. Тем самым,
в частности
так что имеет смысл говорить о включении
Локализация позволяет, например, доказать следующий аналог теоремы 7.5: если
— ограниченная область с гладкой границей
, то при
оператор ограничения и продолжается
до линейного непрерывного оператора