Главная > Лекции об уравнениях математической физики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 7. Пространства Соболева. Обобщённое решение задачи Дирихле

7.1. Пространства

Пусть — открытое подмножество в .

Определение 7.1. Пространство Соболева состоит из таких и что при (а — мультииндекс), где производная понимается в смысле обобщённых Функций.

Введём в скалярное произведение

где скобки означают скалярное произведение в Введём также соответствующую норму

Ясно, что при . Далее, . В частности, каждое пространство вложено в

Предложение 7.2. Скаллрное произведение определяет в структуру сепарабельного гильбертова пространства.

Доказательство. Не очевидны лишь полнота и сепарабельность. Проверим полноту. Пусть последовательность фундаментальна . Это означает в силу определения нормы , что все последовательности (при ) фундаментальны в . Но тогда в силу полноты пространства они сходятся, т.е. по норме . В частности, . Но тогда , а поскольку, с другой стороны, , то Таким образом, при . Но это и означает, что

Проверим сепарабельность. Отображение и задаёт

изометричное вложение в прямую сумму нескольких экземпляров пространства . Теперь сепарабельность вытекает из сепарабельности .

Рассмотрим подробнее случай . Пространство можно описать в терминах преобразования Фурье (понимаемого в обобщённом смысле — в ).

Напомним, что по теореме Планшереля преобразование Фурье

задает изометрию на , где пространство строится по мере . Поясним смысл этого утверждения и то, как оно выглядит с точки зрения теории обобщённых функций. Из курса анализа известно, что равенство Парсеваля

выполнено при и . Поскольку оператор F задаёт изоморфизм на плотно в , то оператор F продолжается до изометрии Поскольку из сходимости в вытекает сходимость (слабая) в , то отображение непрерывно в ограничениях слабых топологий Поэтому оно на самом деле является ограничением обобщённого преобразования Фурье

Заметим теперь, что преобразование Фурье переводит Поэтому условие и — равносильно тому, что при Но вместо этого можно написать, что Поскольку имеют место очевидные оценки

где не зависит от то условие равносильно тому, что , а норма (7.2) при эквивалентна норме

которую мы будем обозначать так же, как и норму (7.3) (опасность путаницы не возникнет). Таким образом, доказано

Предложение 7.3. Пространство состоит из тех и только тех и , для которых

а норма в нём может быть задана формулой (7.4).

Это предложение может служить основой для определения пространств при любом действительном s. А именно, при любом мы можем составить пространство тех и что введя на нём норму (7.4). Мы снова получим сепарабельное гильбертово пространство, которое и обозначается

В дальнейшем нам понадобится банахово пространство (здесь к ), состоящее из функций и производные которых к, ограничены при всех Норма в задается формулой

Теорема 7.4 (теорема вложения С. Л. Соболева). При к имеет место вложение

причём оператор вложения непрерывен.

Поясним формулировку теоремы. На первый взгляд кажется, что она бессмысленна, поскольку функцию и можно как угодно изменять на любом множестве меры нуль, не меняя соответствующей обобщённой функции (и элемента пространства ). Изменяя же функцию и во всех точках с рациональными координатами, мы можем добиться того, что она будет всюду разрывной.

Поэтому включение (7.6) следовало бы более точно формулировать так: если , то существует и единственна функция совпадающая с исходной функцией почти всюду (для краткости вместо мы снова будем писать u). Заметим, что единственность непрерывного представителя очевидна, так как в любой окрестности точки найдутся точки любого множества полной меры, так что изменение непрерывной функции на множестве меры нуль приводит к функции, которая разрывна во всяком случае во всех точках, где произошло изменение.

Доказательство теоремы 7.4. Докажем вначале, что имеет место оценка

где постоянная С не зависит от u. Удобнее всего действовать с помощью преобразования Фурье. Имеем:

откуда

и, следовательно,

Деля и умножая подынтегральное выражение на и используя неравенство Коши-Буняковского, мы получаем:

Интеграл в первом из двух сомножителей сходится в силу того, что , следовательно, подынтегральная функция при убывает быстрее, чем при достаточно малом Второй же сомножитель равен . В итоге при получаем неравенство (7.7).

Заметим теперь, что плотно в при любом . В самом деле, введём оператор умножающий преобразование Фурье на .

Этот оператор изоморфно и изометрично отображает на переводя изоморфно на . Поэтому плотность вытекает из плотности .

Пусть теперь . Но из неравенства (7.7) следует, что последовательность фундаментальна по норме Следовательно, . Но тогда v и совпадают как обобщённые функции, и, следовательно, почти всюду. Неравенство (7.7) по непрерывности верно при всех и что доказывает непрерывность вложения (7.6).

В частности, теорема 7.4 показывает, что для функций и при имеет смысл говорить об их значениях в точке.

Интересен также вопрос о том, когда имеет смысл ограничение на подмногообразие произвольной размерности. Однако нам он в общем виде не понадобится и мы обсудим лишь наиболее важный случай многообразия коразмерности 1. Для простоты обсудим просто случай гиперплоскости Точку будем записывать в виде , где .

Теорема 7.5 (теорема С. Л. Соболева о следах). Оператор ограничения и при продолжается (с ) до линейного непрерывного отображения

Доказательство. Запишем оператор ограничения через преобразование Фурье (для и ):

Отсюда видно, что если через F обозначить преобразование Фурье по , то мы получим:

Положим для краткости , так что

Требуемое утверждение записывается в виде оценки

где означает норму в пространстве , а С не зависит от u. Докажем эту оценку. Имеем:

Из (7.8) находим при любом :

Оценим первый сомножитель. Имеем:

(мы воспользовались здесь тем, что благодаря чему последний интеграл сходится). Таким образом, (7.11) записывается в виде

Используя это неравенство для оценки мы получаем требуемую оценку (7.9).

Замечание. На самом деле оператор ограничения и является эпиморфизмом на (см., например, Хёрмандер [55-2, гл. II]), так что утверждение теоремы является точным (индекс не может быть увеличен).

Теорема 7.5 означает, что если , то корректно определён след функции и на гиперплоскости и он является элементом .

Получать его нужно так: представить и в виде предела по норме функций . Тогда следы при имеют предел по норме в пространстве причем этот предел не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.

При желании ограничиться целыми значениями s можно воспользоваться тем, что . Таким образом, след функции и принадлежит .

Можно определить пространства , где М — гладкое компактное многообразие (без края). А именно будем писать, что и если для любого координатного диффеоморфизма (здесь U — область в — область в ) и для любой функции имеет место включение Здесь и о — это обобщённая функция и, перенесённая на О с помощью диффеоморфизма . Она умножается на чтобы получилась обобщённая функция, носитель которой лежит в . Тем самым, в частности так что имеет смысл говорить о включении Локализация позволяет, например, доказать следующий аналог теоремы 7.5: если — ограниченная область с гладкой границей , то при оператор ограничения и продолжается до линейного непрерывного оператора

1
Оглавление
email@scask.ru