Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 7. Пространства Соболева. Обобщённое решение задачи Дирихле7.1. ПространстваПусть Определение 7.1. Пространство Соболева Введём в
где скобки
Ясно, что Предложение 7.2. Скаллрное произведение Доказательство. Не очевидны лишь полнота и сепарабельность. Проверим полноту. Пусть последовательность фундаментальна Проверим сепарабельность. Отображение и задаёт изометричное вложение Рассмотрим подробнее случай Напомним, что по теореме Планшереля преобразование Фурье
задает изометрию
выполнено при и
Заметим теперь, что преобразование Фурье переводит
где
которую мы будем обозначать так же, как и норму (7.3) (опасность путаницы не возникнет). Таким образом, доказано Предложение 7.3. Пространство
а норма в нём может быть задана формулой (7.4). Это предложение может служить основой для определения пространств В дальнейшем нам понадобится банахово пространство
Теорема 7.4 (теорема вложения С. Л. Соболева). При
причём оператор вложения непрерывен. Поясним формулировку теоремы. На первый взгляд кажется, что она бессмысленна, поскольку функцию и Поэтому включение (7.6) следовало бы более точно формулировать так: если Доказательство теоремы 7.4. Докажем вначале, что имеет место оценка
где постоянная С не зависит от u. Удобнее всего действовать с помощью преобразования Фурье. Имеем:
откуда
и, следовательно,
Деля и умножая подынтегральное выражение на
Интеграл в первом из двух сомножителей сходится в силу того, что Заметим теперь, что Этот оператор изоморфно и изометрично отображает Пусть теперь В частности, теорема 7.4 показывает, что для функций и Интересен также вопрос о том, когда имеет смысл ограничение на подмногообразие произвольной размерности. Однако нам он в общем виде не понадобится и мы обсудим лишь наиболее важный случай многообразия коразмерности 1. Для простоты обсудим просто случай гиперплоскости Теорема 7.5 (теорема С. Л. Соболева о следах). Оператор ограничения и
Доказательство. Запишем оператор ограничения через преобразование Фурье (для и
Отсюда видно, что если через F обозначить преобразование Фурье по
Положим для краткости
Требуемое утверждение записывается в виде оценки
где
Из (7.8) находим при любом
Оценим первый сомножитель. Имеем:
(мы воспользовались здесь тем, что
Используя это неравенство для оценки Замечание. На самом деле оператор ограничения и Теорема 7.5 означает, что если Получать его нужно так: представить и в виде предела При желании ограничиться целыми значениями s можно воспользоваться тем, что Можно определить пространства
|
1 |
Оглавление
|