§ 7. Пространства Соболева. Обобщённое решение задачи Дирихле

7.1. Пространства

Пусть — открытое подмножество в .

Определение 7.1. Пространство Соболева состоит из таких и что при (а — мультииндекс), где производная понимается в смысле обобщённых Функций.

Введём в скалярное произведение

где скобки означают скалярное произведение в Введём также соответствующую норму

Ясно, что при . Далее, . В частности, каждое пространство вложено в

Предложение 7.2. Скаллрное произведение определяет в структуру сепарабельного гильбертова пространства.

Доказательство. Не очевидны лишь полнота и сепарабельность. Проверим полноту. Пусть последовательность фундаментальна . Это означает в силу определения нормы , что все последовательности (при ) фундаментальны в . Но тогда в силу полноты пространства они сходятся, т.е. по норме . В частности, . Но тогда , а поскольку, с другой стороны, , то Таким образом, при . Но это и означает, что

Проверим сепарабельность. Отображение и задаёт

изометричное вложение в прямую сумму нескольких экземпляров пространства . Теперь сепарабельность вытекает из сепарабельности .

Рассмотрим подробнее случай . Пространство можно описать в терминах преобразования Фурье (понимаемого в обобщённом смысле — в ).

Напомним, что по теореме Планшереля преобразование Фурье

задает изометрию на , где пространство строится по мере . Поясним смысл этого утверждения и то, как оно выглядит с точки зрения теории обобщённых функций. Из курса анализа известно, что равенство Парсеваля

выполнено при и . Поскольку оператор F задаёт изоморфизм на плотно в , то оператор F продолжается до изометрии Поскольку из сходимости в вытекает сходимость (слабая) в , то отображение непрерывно в ограничениях слабых топологий Поэтому оно на самом деле является ограничением обобщённого преобразования Фурье

Заметим теперь, что преобразование Фурье переводит Поэтому условие и — равносильно тому, что при Но вместо этого можно написать, что Поскольку имеют место очевидные оценки

где не зависит от то условие равносильно тому, что , а норма (7.2) при эквивалентна норме

которую мы будем обозначать так же, как и норму (7.3) (опасность путаницы не возникнет). Таким образом, доказано

Предложение 7.3. Пространство состоит из тех и только тех и , для которых

а норма в нём может быть задана формулой (7.4).

Это предложение может служить основой для определения пространств при любом действительном s. А именно, при любом мы можем составить пространство тех и что введя на нём норму (7.4). Мы снова получим сепарабельное гильбертово пространство, которое и обозначается

В дальнейшем нам понадобится банахово пространство (здесь к ), состоящее из функций и производные которых к, ограничены при всех Норма в задается формулой

Теорема 7.4 (теорема вложения С. Л. Соболева). При к имеет место вложение

причём оператор вложения непрерывен.

Поясним формулировку теоремы. На первый взгляд кажется, что она бессмысленна, поскольку функцию и можно как угодно изменять на любом множестве меры нуль, не меняя соответствующей обобщённой функции (и элемента пространства ). Изменяя же функцию и во всех точках с рациональными координатами, мы можем добиться того, что она будет всюду разрывной.

Поэтому включение (7.6) следовало бы более точно формулировать так: если , то существует и единственна функция совпадающая с исходной функцией почти всюду (для краткости вместо мы снова будем писать u). Заметим, что единственность непрерывного представителя очевидна, так как в любой окрестности точки найдутся точки любого множества полной меры, так что изменение непрерывной функции на множестве меры нуль приводит к функции, которая разрывна во всяком случае во всех точках, где произошло изменение.

Доказательство теоремы 7.4. Докажем вначале, что имеет место оценка

где постоянная С не зависит от u. Удобнее всего действовать с помощью преобразования Фурье. Имеем:

откуда

и, следовательно,

Деля и умножая подынтегральное выражение на и используя неравенство Коши-Буняковского, мы получаем:

Интеграл в первом из двух сомножителей сходится в силу того, что , следовательно, подынтегральная функция при убывает быстрее, чем при достаточно малом Второй же сомножитель равен . В итоге при получаем неравенство (7.7).

Заметим теперь, что плотно в при любом . В самом деле, введём оператор умножающий преобразование Фурье на .

Этот оператор изоморфно и изометрично отображает на переводя изоморфно на . Поэтому плотность вытекает из плотности .

Пусть теперь . Но из неравенства (7.7) следует, что последовательность фундаментальна по норме Следовательно, . Но тогда v и совпадают как обобщённые функции, и, следовательно, почти всюду. Неравенство (7.7) по непрерывности верно при всех и что доказывает непрерывность вложения (7.6).

В частности, теорема 7.4 показывает, что для функций и при имеет смысл говорить об их значениях в точке.

Интересен также вопрос о том, когда имеет смысл ограничение на подмногообразие произвольной размерности. Однако нам он в общем виде не понадобится и мы обсудим лишь наиболее важный случай многообразия коразмерности 1. Для простоты обсудим просто случай гиперплоскости Точку будем записывать в виде , где .

Теорема 7.5 (теорема С. Л. Соболева о следах). Оператор ограничения и при продолжается (с ) до линейного непрерывного отображения

Доказательство. Запишем оператор ограничения через преобразование Фурье (для и ):

Отсюда видно, что если через F обозначить преобразование Фурье по , то мы получим:

Положим для краткости , так что

Требуемое утверждение записывается в виде оценки

где означает норму в пространстве , а С не зависит от u. Докажем эту оценку. Имеем:

Из (7.8) находим при любом :

Оценим первый сомножитель. Имеем:

(мы воспользовались здесь тем, что благодаря чему последний интеграл сходится). Таким образом, (7.11) записывается в виде

Используя это неравенство для оценки мы получаем требуемую оценку (7.9).

Замечание. На самом деле оператор ограничения и является эпиморфизмом на (см., например, Хёрмандер [55-2, гл. II]), так что утверждение теоремы является точным (индекс не может быть увеличен).

Теорема 7.5 означает, что если , то корректно определён след функции и на гиперплоскости и он является элементом .

Получать его нужно так: представить и в виде предела по норме функций . Тогда следы при имеют предел по норме в пространстве причем этот предел не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.

При желании ограничиться целыми значениями s можно воспользоваться тем, что . Таким образом, след функции и принадлежит .

Можно определить пространства , где М — гладкое компактное многообразие (без края). А именно будем писать, что и если для любого координатного диффеоморфизма (здесь U — область в — область в ) и для любой функции имеет место включение Здесь и о — это обобщённая функция и, перенесённая на О с помощью диффеоморфизма . Она умножается на чтобы получилась обобщённая функция, носитель которой лежит в . Тем самым, в частности так что имеет смысл говорить о включении Локализация позволяет, например, доказать следующий аналог теоремы 7.5: если — ограниченная область с гладкой границей , то при оператор ограничения и продолжается до линейного непрерывного оператора