6.2. Простейшие краевые задачи для уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа

Физическая интерпретация уравнения теплопроводности подсказывает естественные постановки краевых задач для этого уравнения. Простейшей является задача Коши:

Физический смысл её состоит в определении температуры среды во все моменты времени если известно распределение температур при

Часто нам бывает незачем следить за температурой всего пространства, а важно лишь то, что происходит в области Тогда на границе нужно задать дополнительные условия: например, температуру или поток тепла. Так мы приходим к двум краевым задачам, а именно:

Первая краевая задача:

Вторая краевая задача получается заменой последнего из условий (6.3) на условие

где означает внешнюю нормаль к границе

При стационарных (не зависящих от времени) граничных условиях часто интересно бывает узнать, что происходит с температурой при Предположим, что при существует предел решения уравнения теплопроводности (или, как говорят, происходит «стабилизация» решения ). Тогда естественно ожидать, что удовлетворяет уравнению Лапласа т. е. является гармонической функцией. Этому утверждению очень легко придать точный смысл, но мы не будем сейчас этого делать, чтобы не отвлекаться. Первая и вторая краевая задачи для уравнения теплопроводности в пределе дадут следующие задачи для уравнения Лапласа:

Задача Дирихле:

Задача Неймана:

В этой модели задача Дирихле имеет следующий смысл: надо найти установившуюся температуру внутри тела , если на границе поддерживается температура . Смысл задачи Неймана: найти установившуюся температуру внутри тела , если на границе задан поток тепла

Очевидно, что решение задачи Неймана не определено однозначно: к нему всегда можно добавить постоянную. Далее, понятно, что стационарное распределение тепла может существовать в объёме лишь в том случае, если суммарный поток тепла через границу равна нулю, т. е.

(это же вытекает из формулы Гаусса-Остроградского, согласно которой

так что если v — решение задачи (6.6), то выполнено условие (6.7)).

В дальнейшем мы увидим, что все перечисленные задачи для уравнений теплопроводности и Лапласа разумны в том смысле, что они однозначно разрешимы (с указанной оговоркой относительно задачи Неймана) в естественных классах функций. Эти задачи окажутся и корректны в надлежащем смысле, т.е. при правильном выборе пространств решения существуют, единственны и непрерывно зависят от данных задачи.

Отметим, что задачи Дирихле и Неймана имеют много физических интерпретаций, отличных от приведённой выше. Например, малое вертикальное отклонение мембраны и малое перемещение упругого твердого тела удовлетворяют волновому уравнению

В стационарном случае мы опять приходим к уравнению Лапласа, и тогда задача Дирихле, например, в случае мембраны означает задачу о нахождении формы мембраны по форме её границы. Граничное условие задачи Неймана интерпретируется как задание вдоль границы вертикальной составляющей силы, действующей на мембрану.