Доказательство. Мы используем теорему о замкнутом графике в следующей формулировке: если
— два банаховых пространства и линейный оператор
всюду определён и имеет замкнутый график (т.е. множество пар
замкнуто в
или, иными словами, если
, то
, то этот оператор непрерывен (или, что то же самое, ограничен).
В качестве
возьмём подпространство в
состоящее из решений уравнения
(оператор применяется в смысле
). Важно, что
— это замкнутое подпространство в
. В самом деле, если
то
и слабо в
т.е.
для любой функции
. Но тогда
для любой функции
поскольку в этом случае
Последнее предельное соотношение означает, что
слабо в
, откуда
, что и требовалось. Таким образом,
— банахово пространство. Отметим, что на самом деле
в силу гипоэллиптичности оператора
).
В качестве
возьмём банахово пространство таких и
что
и все производные функции и до порядка к включительно (здесь
любое) ограничены. На
введём обычную норму
Если
и по норме
то ясно, что
и, следовательно, и
.
Поэтому
— банахово пространство (оно является замкнутым подпространством в банаховом пространстве функций
), имеющих ограниченные производные до порядка к включительно).
Теперь рассмотрим линейный оператор
переводящий и в Проверим замкнутость графика оператора А. Надо доказать, что если
, то
, т.е.
из условия
вытекает, что
, откуда ясно, что
слабо в
. Но мы знаем, с другой стороны, что v в
значит, слабо в
. Поскольку одна и та же последовательность не может иметь два разных слабых предела в
, то
, что и требовалось.
По теореме о замкнутом графике оператор А ограничен. Но это означает, что
откуда ввиду произвольности к следуют оценки (6.29). Применяя очевидное неравенство
мы получаем и оценки (6.30).
Предложение 6.6 может быть доказано и
использования теоремы о замкнутом графике с помощью выражения решения через фундаментальное решение: см. доказательство того, что всякое решение и
уравнения
на самом деле принадлежит
Уточняя проведённые там рассуждения, легко получить, что если
, то
и в топологии
. В частности, отсюда следует, что из сходимости в
вытекает равномерная сходимость любых производных на
Предложение 6.6 позволяет, например, получить информацию о росте или убывании производных решения уравнения
когда аналогичная информация известна о самом решении. Приведём пример, важный для дальнейшего.
Пример 6.1. Пусть решение u(t, х) уравнения теплопроводности (6.1) определено в полосе
и удовлетворяет там оценке
где
. Тогда если взять чуть меньшую полосу
где
, то в ней выполнены аналогичные оценки производных
где постоянная р — та же, что и в (6.31), а
зависят от (
-мерного мультииндекса а и от выбора а и b.
Для доказательства надо использовать предложение 6.6, взяв
и применив оценку (6.30) к решению уравнения теплопроводности
зависящему от
как от параметра. В результате получим при
:
что и требовалось.