6.6. Оценка производных решения гипоэллиптического уравнения

Напомним, что оператор с постоянными коэффициентами в называется гипоэллиптическим, если он имеет фундаментальное решение или, что равносильно, всякое решение и уравнения на самом деле принадлежит Примерами гипоэллиптических операторов являются операторы Лапласа и теплопроводности.

Предложение 6.6. Пусть — две такие ограниченные области в что (черта здесь означает замыкание в ), — гипоэллиптический оператор в Тогда на решениях и уравнения выполнены оценки

где а — произвольный мультииндекс, постоянные не зависят от выбора . В частности, верны оценки

(здесь — другие постоянные, также не зависящие от u).

Доказательство. Мы используем теорему о замкнутом графике в следующей формулировке: если — два банаховых пространства и линейный оператор всюду определён и имеет замкнутый график (т.е. множество пар замкнуто в или, иными словами, если , то , то этот оператор непрерывен (или, что то же самое, ограничен).

В качестве возьмём подпространство в состоящее из решений уравнения (оператор применяется в смысле ). Важно, что — это замкнутое подпространство в . В самом деле, если то и слабо в т.е. для любой функции . Но тогда для любой функции поскольку в этом случае Последнее предельное соотношение означает, что слабо в , откуда , что и требовалось. Таким образом, — банахово пространство. Отметим, что на самом деле в силу гипоэллиптичности оператора ).

В качестве возьмём банахово пространство таких и что и все производные функции и до порядка к включительно (здесь любое) ограничены. На введём обычную норму

Если и по норме то ясно, что и, следовательно, и .

Поэтому — банахово пространство (оно является замкнутым подпространством в банаховом пространстве функций ), имеющих ограниченные производные до порядка к включительно).

Теперь рассмотрим линейный оператор переводящий и в Проверим замкнутость графика оператора А. Надо доказать, что если , то , т.е. из условия вытекает, что , откуда ясно, что слабо в . Но мы знаем, с другой стороны, что v в значит, слабо в . Поскольку одна и та же последовательность не может иметь два разных слабых предела в , то , что и требовалось.

По теореме о замкнутом графике оператор А ограничен. Но это означает, что

откуда ввиду произвольности к следуют оценки (6.29). Применяя очевидное неравенство

мы получаем и оценки (6.30).

Предложение 6.6 может быть доказано и использования теоремы о замкнутом графике с помощью выражения решения через фундаментальное решение: см. доказательство того, что всякое решение и уравнения на самом деле принадлежит Уточняя проведённые там рассуждения, легко получить, что если , то и в топологии . В частности, отсюда следует, что из сходимости в вытекает равномерная сходимость любых производных на

Предложение 6.6 позволяет, например, получить информацию о росте или убывании производных решения уравнения когда аналогичная информация известна о самом решении. Приведём пример, важный для дальнейшего.

Пример 6.1. Пусть решение u(t, х) уравнения теплопроводности (6.1) определено в полосе и удовлетворяет там оценке

где . Тогда если взять чуть меньшую полосу где , то в ней выполнены аналогичные оценки производных

где постоянная р — та же, что и в (6.31), а зависят от (-мерного мультииндекса а и от выбора а и b.

Для доказательства надо использовать предложение 6.6, взяв

и применив оценку (6.30) к решению уравнения теплопроводности

зависящему от как от параметра. В результате получим при :

что и требовалось.