11.5. Задача Коши с быстро осциллирующими начальными данными

Рассмотрим уравнение , где и пусть А — гиперболический оператор относительно переменной t. Рассмотрим формальный ряд

и попробуем понять, по каким начальным данным при можно восстановить этот ряд, если он является асимптотическим решением. Мы будем рассматривать только такие фазовые функции что . Функция должна удовлетворять уравнению эйконала

(11.64)

где — главный символ оператора А. Но как мы видели выше в п. 11.3, это равносильно тому, что выполнено одно из уравнений

(11.65)

где — полный набор корней уравнения От . Задав начальное условие

(11.66)

где функция такова, что , мы можем построить ровно различных решений уравнения эйконала (11.64), удовлетворяющих этому начальному условию, а именно, решения уравнений (11.65) (каждое них уже имеет единственное решение). Решения уравнений (11.65) существуют в малой окрестности плоскости определяемой как указано в п 11.2. В этой же окрестности функции будут однозначно определены из уравнений переноса, если задать начальные данные

(11.67)

Поставим теперь задачу Коши, для уравнения задавая наг чальные данные вида:

Смысл этой задачи состоит в том, что мы хотим находить сколь угодно точные (при больших А) решения уравнения с быстро осциллирующими начальными данными, являющимися конечными отрезками рядов, стоящих в правых частях (11.68).

Решением этой задачи уже нельзя называть просто ряд вида (11.63) (такого может и не оказаться). Нужно брать конечную сумму таких рядов (с различными фазами ). Итак, рассмотрим сумму:

(11.69)

где

(11.70)

Назовем сумму (11.69) решением уравнения , если каждое является решением этого уравнения. Поскольку все ряды имеют вид

то начальные данные тоже имеют такой вид. Поэтому имеет смысл говорить о выполнении начальных данных (11.68) для .

Можно рассмотреть, например, частный случай, когда ряды в (11.68) вообще состоят из одного члена:

(11.71)

Обрывая ряд для и на достаточно далёком члене, мы видим, что нахождение асимптотических решений даёт настоящие функции , для которых

(11.72)

где N может быть сколь угодно большим.

Теорема 11.5. Описанная выше задача Коши для гиперболического уравнения (с начальными данными ) однозначно разрешима (в малой окрестности начальной плоскости ).

Доказательство. Каждая из фаз должна удовлетворять уравнению эйконала и начальному условию Существует, как мы видели, ровно таких фаз . Теперь уравнения переноса для амплитуд показывают, что достаточно задать , чтобы все функции были однозначно определены. Итак, нам нужно показать, что начальные условия (11.68) однозначно определяют функции .

Нужно подставить в начальные условия (11.68) и выписать получающиеся уравнения на функции приравняв коэффициенты при всех степенях . Первое иэ условий (11.68) даёт

Второе условий (11.68) приобретает вид:

И вообще условие, задающее имеет вид:

(11.73)

где зависит лишь от . Заметим теперь, что

где при . Поэтому если (а это предполагается в рассматриваемой задаче), то система уравнений (11.73) при фиксированном j имеет вид системы линейных уравнений относительно с определителем, равным определителю

Вандермонда

где . Правые части в (11.73) зависят лишь от . Поэтому последовательность систем линейных уравнений (11.73) дает возможность однозначно определить все функции по индукции. А именно, найдя из системы (11.73) с мы можем определить из уравнений переноса с начальными условиями .

Если определены то из (11.73) находятся функции и тогда из уравнений переноса можно определить . Теорема 11.5 доказана.

Укажем кратко связь теоремы 11.5 с поведением особенностей решений задачи Коши. Особенности функции , как известно, связаны с поведением на бесконечности её преобразования Фурье . Например, написав формулу обращения

(11.74)

мы видим, что если , то . Поэтому для нахождения особенностей решения достаточно решить задачу Коши с точностью до функций, у которых преобразование Фурье по достаточно быстро убывает при .

Формулу (11.74) можно рассматривать как представление в виде линейной комбинации экспонент . Поскольку исходная задача является линейной, для нахождения решения задачи с одним из начальных данных, равным достаточно рассмотреть решение, для которого в начальном условии заменено на и потом взять такую же линейную комбинацию решений.

Если , где К — компакт в , то удобней поступить несколько иначе. А именно, пусть в окрестности К. Тогда

(11.75)

и достаточно решать исходную задачу с заменой на . Например, если , то верна формула (11.75); поэтому решив задачу Коши

(11.76)

и обозначив решение через мы можем написать

(если интеграл в каком-нибудь смысле существует — например, сходится при фиксированном t в топологии ) и тогда будет решением задачи Коши

(11.77)

Если мы хотим следить лишь за особенностями , то нужно следить за поведением при . Можно фиксировать направление введя большой параметр и положив Тогда задача

Коши (11.76) имеет вид задачи Коши с быстро осциллирующими начальными данными. А именно, в (11.68) мы должны положить

Мы можем найти решение , которое будет удовлетворять условиям (11.76) с точностью до при сколь угодно большом N. Тогда условия (11.77) будут выполнены с точностью до функций класса . Можно доказать, что истинное решение задачи (11.77) будет вести себя с точки зрения поведения особенностей как найденное приближённое решение, т. е. будет отличаться от него на сколь угодно гладкую функцию (при большом ).

Где же лежат особенности ? Чтобы понять это, мы должны рассмотреть интеграл

где — сумма первых членов ряда, задающего асимптотическое решение Все эти члены имеют вид

где — одна из фазовых функций, удовлетворяющих уравнению эйконала с начальным условием — функция, бесконечно дифференцируемая по всем переменным, определённая при малых t и имеющая носитель, лежащий в некоторой сколь угодно малой окрестности множества лучей начинающихся в точке (0, 0) (последнее получается из вида уравнений переноса). Таким образом, мы видим, что носитель лежит на множестве лучей, проходящих через точку (0, 0). Принимая во внимание тот сформулированный выше без доказательства факт, что особенности и (с любой точностью) совпадают, мы видим, что обобщённая функция бесконечно дифференцируема вне множества лучей, начинаюнщхся в точке (0, 0).

При этом надо брать все лучи, соответствующие всем функциям при каждом и при каждом Получится набор из конусов с криволинейными образующими, выходящими из точки (0, 0) (при каждом и при каждом получается луч, причём этот луч гладко зависит от ). Более детальное описание особенностей мы оставляем читателю в качестве упражнения, которое полезно проделать для уравнений порядка, например, для уравнения, описывающего распространение света в неоднородной среде.