1.5. Характеристики. Эллиптичность и гиперболичность

Пусть А — дифференциальный оператор порядка — его главный символ. Ненулевой кокасательный вектор называется характеристическим, если Поверхность (коразмерности 1) в называется характеристической в точке если её нормаль в этой точке является характеристическим вектором. Она называется характеристикой, если она характеристична в каждой точке.

Если поверхность S задана уравнением где , то её характеристичность в точке означает, что Она является характеристикой, если

Все поверхности уровня являются характеристиками тогда и только тогда, когда

Из теоремы 1.3 вытекает, что понятие характеристичности и характеристики не зависит от выбора координат в .

Примеры.

1. Оператор Лапласа не имеет вещественных характеристических векторов.

2. Для оператора теплопроводности характеристическим является вектор . Поверхности являются характеристиками. Поверхность (параболоид) характеристична в одной точке (начале координат).

3. Рассмотрим волновой оператор . Его характеристические векторы в каждой точке образуют конус Любой конус является характеристикой. В частности, при (т. е. при ) характеристиками являются прямые вида .

Определение.

1. Оператор А называется эллиптическим, если при т. е. если А не имеет вещественных характеристических векторов.

2. Оператор А в пространстве называется гиперболическим относительно t, если уравнение рассматриваемое как уравнение относительно , при любых фиксированных при имеет ровно m вещественных и различных корней. В этом случае говорят иногда, что характеристики А вещественны и различны.

Примеры.

1. Оператор Лапласа является эллиптическим.

2. Оператор теплопроводности не является ни эллиптическим, ни гиперболическим относительно

3. Волновой оператор является гиперболическим относительно t, поскольку уравнение при имеет два вещественных и различных корня

4. Оператор Штурма-Лиувилля эллиптичен на если при

Как следует из теоремы 1.3, эллиптичность оператора — факт, не зависящий от выбора координат. Гиперболичность относительно t не зависит от выбора координат в пространстве

Посмотрим, что означает характеристичность поверхности . Вектор нормали имеет координаты и при подстановке в главный символ получаем

т.е. характеристичность поверхности в точке означает, что коэффициент при обращается в 0 в точке .

Все поверхности являются характеристиками тогда и только тогда, когда .

Это замечание используется при приведении к каноническому виду операторов порядка с двумя независимыми переменными.

Нахождение характеристик возможно, например, с помощью решения уравнения Гамильтона-Якоби если — решение этого уравнения, то все поверхности являются характеристиками. Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби проводится с помощью гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с гамильтонианом (см. § 11).