3. Рассмотрим волновой оператор
. Его характеристические векторы в каждой точке
образуют конус
Любой конус
является характеристикой. В частности, при
(т. е. при
) характеристиками являются прямые вида
.
Определение.
1. Оператор А называется эллиптическим, если
при
т. е. если А не имеет вещественных характеристических векторов.
2. Оператор А в пространстве
называется гиперболическим относительно t, если уравнение
рассматриваемое как уравнение относительно
, при любых фиксированных
при
имеет ровно m вещественных и различных корней. В этом случае говорят иногда, что характеристики А вещественны и различны.
Примеры.
1. Оператор Лапласа
является эллиптическим.
2. Оператор теплопроводности не является ни эллиптическим, ни гиперболическим относительно
3. Волновой оператор является гиперболическим относительно t, поскольку уравнение
при
имеет два вещественных и различных корня
4. Оператор Штурма-Лиувилля
эллиптичен на
если
при
Как следует из теоремы 1.3, эллиптичность оператора — факт, не зависящий от выбора координат. Гиперболичность относительно t не зависит от выбора координат в пространстве
Посмотрим, что означает характеристичность поверхности
. Вектор нормали имеет координаты
и при подстановке в главный символ получаем
т.е. характеристичность поверхности
в точке
означает, что коэффициент при
обращается в 0 в точке
.