5.2. Прямое произведение обобщённых функций

Пусть . Определим их прямое или тензорное произведение . Вместо мы будем часто писать также , где .

Пусть . При мы имели бы по теореме Фубини

Эту же формулу надо принять за основу при определении для обобщённых функций. Покажем, что она имеет смысл.

Заметим прежде всего, что всякий компакт К в содержится в некотором компакте вида где — компакт в . В частности, при некотором Далее, можно теперь рассматривать как бесконечно дифференцируемую функцию от со значениями в (бесконечная дифференцируемость означает, что все производные являются пределами своих разностных отношений в топологии . Поэтому , поскольку является линейным непрерывным функционалом на Отсюда следует, что имеет смысл функционал

Легко проверить, что причём . Можно построить также функционал по формуле

Необходимо проверить, что Отметим, что если где т.е. то ясно, что

Поэтому ясно, что для проверки равенства достаточно доказать следующую лемму.

Лемма 5.1. В плотны линейные комбинации функций вида , где . Точнее, если — компакт в — такой компакт в , что содержится в множестве внутренних точек то всякая функция может быть в приближена сколь угодно точно конечными линейными комбинациями функций вида , где

Доказательство. Рассмотрим следующий куб :

т. е. куб с центром в точке 0, со стороной d и с ребрами параллельными координатным осям. Выберем d столь большим, чтобы компакт лежал строго внутри куба полную ортонормированную систему образуют экспоненты , где и экспонента рассматривается как функция от z. Функцию можно разложить в ряд Фурье

где

Ряд Фурье (5.10) абсолютно и равномерно на сходится к причём его можно сколько угодно раз почленно дифференцировать. В самом деле, интегрирование по частям показывает, что величины

ограничены по модулю постоянной , не зависящей от , т. е.

Отсюда и следует сходимость ряда (5.10) и возможность его почленного дифференцирования.

Таким образом ряд (5.10) сходится в топологии . Пусть теперь в окрестности . Тогда получаем

где причём ряд сходится в топологии . Но тогда конечные суммы этого ряда дают требуемое приближение для .

Теперь мы можем дать

Определение. Если то прямым или тензорным произведением называется обобщённая функция на определяемая по формуле (5.9) и обозначаемая или

Легко видеть, что

а если , то . Далее, легко проверяется, что

Пример 5.1. .

Пример 5.2. Пусть

Обобщённая функция называется простым слоем с плотностью р на плоскости . Её физический смысл состоит в том, что она описывает заряд, сосредоточенный на плоскости и распределённый по ней с плотностью . Ясно, что

Обобщённая функция называется двойным слоем с плотностью р на плоскости Её физический смысл состоит в том, что она описывает распределение диполей, расположенных с плотностью р на плоскости и ориентированных по оси t. Диполем в электростатике называют два очень близких очень больших заряда, одинаковых по величине и противоположных по знаку, причём произведение величины зарядов на расстояние между ними является определённой конечной величиной, называемой моментом диполя. Легко видеть, что в верно предельное соотношение

откуда и вытекает указанная интерпретация потенциала двойного слоя.

Ясно, что

Формулами типа (5.14), (5.15) простой и двойной слои могут быть определены на любой гладкой поверхности Г коразмерности 1 в . А именно, если , то можно построить обобщённые функции и , определяемые формулами

где элемент площади поверхности означает внешнюю нормаль к Г. Отметим, впрочем, что локально можно диффеоморфизмом свести эти функции к описанным выше прямым произведениям

Отметим ещё следующее важное свойство прямого произведения: оно ассоциативно, т.е. если , то

в . Доказательство очевидно из того, что в в том же смысле, что и в лемме 5.1, плотны конечные линейные комбинации функций вида , где .