5.2. Прямое произведение обобщённых функций
Пусть
. Определим их прямое или тензорное произведение
. Вместо
мы будем часто писать также
, где
.
Пусть
. При
мы имели бы по теореме Фубини
Эту же формулу надо принять за основу при определении
для обобщённых функций. Покажем, что она имеет смысл.
Заметим прежде всего, что всякий компакт К в
содержится в некотором компакте вида
где
— компакт в
. В частности,
при некотором
Далее,
можно теперь рассматривать как бесконечно дифференцируемую функцию от
со значениями в
(бесконечная дифференцируемость означает, что все производные являются пределами своих разностных отношений в топологии
. Поэтому
, поскольку
является линейным непрерывным функционалом на
Отсюда следует, что имеет смысл функционал
Легко проверить, что
причём
. Можно построить также функционал
по формуле
Необходимо проверить, что
Отметим, что если
где
т.е.
то ясно, что
Поэтому ясно, что для проверки равенства
достаточно доказать следующую лемму.
Лемма 5.1. В
плотны линейные комбинации функций вида
, где
. Точнее, если
— компакт в
— такой компакт в
, что
содержится в множестве внутренних точек
то всякая функция
может быть в
приближена сколь угодно точно конечными линейными комбинациями функций вида
, где
где
причём ряд сходится в топологии
. Но тогда конечные суммы этого ряда дают требуемое приближение для
.
Теперь мы можем дать
Определение. Если
то прямым или тензорным произведением
называется обобщённая функция на
определяемая по формуле (5.9) и обозначаемая
или
Легко видеть, что
а если
, то
. Далее, легко проверяется, что
Пример 5.1.
.
Пример 5.2. Пусть
Обобщённая функция
называется простым слоем с плотностью р на плоскости
. Её физический смысл состоит в том, что она описывает заряд, сосредоточенный на плоскости
и распределённый по ней с плотностью
. Ясно, что
Обобщённая функция
называется двойным слоем с плотностью р на плоскости
Её физический смысл состоит в том, что она описывает распределение диполей, расположенных с плотностью р на плоскости
и ориентированных по оси t. Диполем в электростатике называют два очень близких очень больших заряда, одинаковых по величине и противоположных по знаку, причём произведение величины зарядов на расстояние между ними является определённой конечной величиной, называемой моментом диполя. Легко видеть, что в
верно предельное соотношение
откуда и вытекает указанная интерпретация потенциала двойного слоя.
Ясно, что
Формулами типа (5.14), (5.15) простой и двойной слои могут быть определены на любой гладкой поверхности Г коразмерности 1 в
. А именно, если
, то можно построить обобщённые функции
и
, определяемые формулами
где
элемент площади поверхности
означает внешнюю нормаль к Г. Отметим, впрочем, что локально можно диффеоморфизмом свести эти функции к описанным выше прямым произведениям
Отметим ещё следующее важное свойство прямого произведения: оно ассоциативно, т.е. если
, то
в
. Доказательство очевидно из того, что в
в том же смысле, что и в лемме 5.1, плотны конечные линейные комбинации функций вида
, где
.