5.4. Дальнейшие свойства свертки. Носитель и носитель сингулярности свёртки

Изучим вначале свёртку обобщённой и гладкой функций.

Предложение 5.2. Пусть или . Тогда , причём

Доказательство. Прежде всего, заметим, что является бесконечно дифференцируемой функцией от х со значениями в . Если при этом , то носитель , как функции у, лежит в некотором компакте, если меняется на компакте. Поэтому . Равенство

следует из того, что по определению замена переменных в обобщённых функциях делается так, как если бы мы имели дело с обычным интегралом. Остаётся проверить, что если , то

или

Поскольку , то это соотношение означает, что

или

т. е. надо доказать, что можно внести линейный непрерывный функционал под знак интеграла. Это ясно из того, что интегральные суммы интеграла

рассматриваемые как функции от у, сходятся к нему в топологии поскольку производные от интегральных сумм тоже будут интегральными суммами для такого же интеграла, в котором заменено на . Предложение 5.2 доказано.

Имеет место следующее свойство непрерывности свёртки.

Предложение 5.3. Пусть или . Тогда .

Доказательство очевидно из формулы

Следствие плотно в

Доказательство. Если при то . Таким образом, плотно в . Но очевидно, что плотно в Поэтому плотно в .

Легко видеть, что если , где К — компакт в (не зависящий от ), то условие равносильно тому, что Но тогда из предыдущего рассуждения ясно, что плотно в .

Аналогичные рассуждения показывают, что плотно в и, кроме того, плотно в Полезность этих фактов состоит в том, что любую формулу для обобщённых функций, обе части которой непрерывно зависят, например, от достаточно проверять при .

Предложение 5.5. Пусть . Тогда

Доказательство. Надо доказать, что если то . Но это ясно из формулы (5.18), поскольку в этом случае не пересекается с .

Определение. Носителем сингулярности обобщённой функции называется наименьшее замкнутое подмножество , для которого . Носитель сингулярности обозначается .

Предложение 5.6. Пусть . Тогда

Доказательство. Используя срезающие функции, мы можем для любого разбить обобщённую функцию в сумму где содержится в -окрестности Сделаем такое разбиение для и для :

Тогда

В этой сумме последние три слагаемых принадлежат в силу предложения 5.2. Поэтому

Но последнее множество содержится в -окрестности множества . Ввиду произвольности отсюда следует включение (5.34), что и требовалось.