1.4. Приведение к каноническому виду операторов 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Пользуясь заменами переменных, можно пытаться привести оператор к более простому виду. Рассмотрим оператор 2-го порядка с постоянными коэффициентами главной части:

где — вещественные постоянные, последнего всегда можно добиться, меняя оператора, поскольку Не обращая внимания на младшие члены, мы приведем старшую часть

оператора А к более простому виду с помощью линейной замены переменной:

где — вещественные постоянные. Рассмотрим квадратичную форму

лишь знаком отличающуюся от главного символа оператора А.

Линейной заменой переменных где F — невырожденная постоянная матрица, можно привести форму к сумме квадратов:

Обозначим через С матрицу замены (1.13). По теореме 1.3 в координатах у оператор А будет иметь вид оператора порядка с такой квадратичной формой , что

где С — матрица, транспонированная к С. Отсюда и из (1.15) ясно, что мы должны выбрать матрицу С так, чтобы было или

Тогда главная часть оператора А при замене переменных вида (1.13) приведётся к виду

называемому каноническим.

Замечание. Оператор с переменными коэффициентами может быть приведен к виду (1.17) в одной фиксированной точке линейной заменой переменных.