Задачи

7-1. Решить методом Фурье следующую задачу Дирихле: найти такую функцию , что в круге , где ,

7-2. Решить методом Фурье задачу Дирихле в круге для произвольной граничной функции где — полярный угол, т. е. найти такую функцию , что в круге . Обосновать решение для гладкой функции Получить в этом случае формулу Пуассона:

7-3. Используя положительность ядра Пуассона

доказать принцип максимума для решений задачи Дирихле, полученных в предыдущей задаче. Вывести из принципа максимума разрешимость задачи Дирихле для любой непрерывной функции

7-4. Найти функцию , для которой при

7-5. В кольце найти такую функцию , что

7-6. Найти методом Фурье решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике , граничные условия имеют вид (условие непрерывности граничной функции). Описать схему решения общей задачи и затем решить задачу для следующего частного случая:

7-7. В полуплоскости решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в классе ограниченных функций. Для этого, воспользовавшись преобразованием Фурье по получить для убывающих по решений формулу

где . Затем исследовать общий случай ограниченной непрерывной функции

7-8. Выяснить, при каких функция принадлежит пространству , где — шар радиуса 1 с центром в точке .

7-9. Принадлежит ли функция пространству ?